Список таблиц символов для химически важных трехмерных точечных групп

В нем перечислены таблицы характеров наиболее распространенных точечных групп молекул, используемых при изучении симметрии молекул . Эти таблицы основаны на теоретико-групповой трактовке операций симметрии, присутствующих в обычных молекулах , и полезны в молекулярной спектроскопии и квантовой химии . Информацию об использовании таблиц, а также их более обширные списки можно найти в справочной литературе. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

Обозначение [ править ]

Для каждой нелинейной группы в таблицах дается наиболее стандартное обозначение конечной группы, изоморфной точечной группе, за которым следует порядок группы (количество операций инвариантной симметрии). Используемые обозначения конечных групп: Z _n : циклическая группа порядка n , D _n : группа диэдра, изоморфная группе симметрии n- стороннего правильного многоугольника, S _n : симметрическая группа на n буквах и A _n : знакопеременная группа на п букв.

Далее следуют таблицы символов для всех групп. Строки таблиц символов соответствуют неприводимым представлениям группы с их обычными именами, известными как символы Малликена, ^[6] на левом поле. Соглашения об именах следующие:

A и B являются однократно вырожденными представлениями, при этом первое трансформируется симметрично вокруг главной оси группы, а второе - асимметрично. E , T , G , H , ... являются дважды, трехкратно, четверно, пятикратно, ... вырожденными представлениями.
Индексы g и u обозначают симметрию и антисимметрию соответственно относительно центра инверсии. Индексы «1» и «2» обозначают симметрию и антисимметрию, соответственно, относительно неглавной оси вращения. Более высокие числа обозначают дополнительные представления с такой асимметрией.
Одинарный штрих (') и двойной штрих (' ') обозначают симметрию и антисимметрию, соответственно, относительно горизонтальной зеркальной плоскости σ _h , перпендикулярной главной оси вращения.

Все столбцы, кроме двух крайних правых, соответствуют операциям симметрии, которые инвариантны в группе. В случае наборов аналогичных операций с одинаковыми символами для всех представлений они представлены в виде одного столбца с указанием количества таких похожих операций в заголовке.

Тело таблиц содержит символы в соответствующих неприводимых представлениях для каждой соответствующей операции симметрии или набора операций симметрии.

Два крайних правых столбца указывают, какие неприводимые представления описывают преобразования симметрии трех декартовых координат ( x , y и z ), вращения вокруг этих трех координат ( R _x , R _y и R _z ) и функции квадратичных членов координат. ( x ² , y ² , z ² , xy , xz и yz ).

Символ i, используемый в основной части таблицы, обозначает мнимую единицу : i ² = -1. Используемый в заголовке столбца, он обозначает операцию инверсии. Верхний регистр "C" означает комплексное сопряжение .

Таблицы персонажей [ править ]

Неаксиальные симметрии [ править ]

Эти группы характеризуются отсутствием собственной оси вращения, при этом поворот считается операцией идентичности. Эти группы обладают инволюционной симметрией: единственная неединичная операция, если таковая имеется, - это ее собственная обратная. ${\ displaystyle C_ {1}}$

В группе все функции декартовых координат и поворотов вокруг них преобразуются как неприводимое представление. ${\ displaystyle C_ {1}}$ ${\ displaystyle A}$

Группа точек

Каноническая группа

Заказ

Таблица символов

{\ displaystyle C_ {1}}

{\ displaystyle Z_ {1}}

{\ displaystyle 1}

	${\ displaystyle E}$
${\ displaystyle A}$	${\ displaystyle 1}$

{\ displaystyle C_ {i}}

{\ displaystyle Z_ {2}}

2

	${\ displaystyle E}$	${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle A_ {g}}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle R_ {x}}$ , , ${\ displaystyle R_ {y}}$ ${\ displaystyle R_ {z}}$	${\ displaystyle x ^ {2}}$ , , , , , ${\ displaystyle y ^ {2}}$ ${\ displaystyle z ^ {2}}$ ${\ displaystyle xy}$ ${\ displaystyle xz}$ ${\ displaystyle yz}$
${\ displaystyle A_ {u}}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle -1}$	${\ displaystyle x}$ , , ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle C_ {s}}

{\ displaystyle Z_ {2}}

{\ displaystyle 2}

	${\ displaystyle E}$	$\sigma _{h}$
$A'$	$1$	$1$	$x$ , , $y$ $R_{z}$	$x^{2}$ , , , $y^{2}$ $z^{2}$ $xy$
$A''$	$1$	$-1$	$z$ , , $R_{x}$ $R_{y}$	$yz$ , $xz$

Циклические симметрии [ править ]

Семейства групп с такими симметриями имеют только одну ось вращения.

Циклические группы ( C _n ) [ править ]

Циклические группы обозначаются C _n . Эти группы характеризуются n- кратной осью собственного вращения C _n . Группа C ₁ рассматривается в разделе о неаксиальных группах .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

C ₂

Z ₂

2

	E	C ₂
А	1	1	R _z , z	х ² , у ² , z ² , ху
B	1	−1	R _x , R _y , x , y	xz , yz

C ₃

Z ₃

3

	E	C ₃	С ₃²	θ = e ^{2π i / 3}
А	1	1	1	R _z , z	х ² + у ²
E	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	( R _x , R _y ), ( x , y )	( x ² - y ² , xy ), ( xz , yz )

C ₄

Z ₄

4

	E	C ₄	C ₂	С ₄³
А	1	1	1	1	R _z , z	х ² + у ² , z ²
B	1	−1	1	−1		х ² - у ² , ху
E	1 1	я - я	-1 -1	- я я	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )

С ₅

Z ₅

5

	E	С ₅	С ₅²	С ₅³	С ₅⁴	θ = e ^{2π i / 5}
А	1	1	1	1	1	R _z , z	х ² + у ² , z ²
E ₁	1 1	θ θ ^C	θ ² ( θ ² ) ^С	( θ ² ) ^C θ ²	θ ^C θ	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	1 1	θ ² ( θ ² ) ^С	θ ^C θ	θ θ ^C	( θ ² ) ^C θ ²		( х ² - у ² , ху )

С ₆

Z ₆

6

	E	С ₆	C ₃	C ₂	С ₃²	С ₆⁵	θ = e ^{2π i / 6}
А	1	1	1	1	1	1	R _z , z	х ² + у ² , z ²
B	1	−1	1	−1	1	−1
E ₁	1 1	θ θ ^C	- θ ^C - θ	-1 -1	- θ - θ ^C	θ ^C - θ	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	1 1	- θ ^C - θ	- θ - θ ^C	1 1	- θ ^C - θ	- θ - θ ^C		( х ² - у ² , ху )

С ₈

Z ₈

8

	E	С ₈	C ₄	С ₈³	C ₂	С ₈⁵	С ₄³	С ₈⁷	θ = e ^{2π i / 8}
А	1	1	1	1	1	1	1	1	R _z , z	х ² + у ² , z ²
B	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
E ₁	1 1	θ θ ^C	я - я	- θ ^C - θ	-1 -1	- θ - θ ^C	- я я	θ ^C θ	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	1 1	я - я	-1 -1	- я я	1 1	я - я	-1 -1	- я я		( х ² - у ² , ху )
E ₃	1 1	- θ - θ ^C	я - я	θ ^C θ	-1 -1	θ θ ^C	- я я	- θ ^C - θ

Группы отражения ( C _nh ) [ править ]

Группы отражений обозначаются C _nh . Эти группы характеризуются: i) n- кратной осью собственного вращения C _n ; ii) зеркальная плоскость σ _h, нормальная к C _n . Группа C _{1 h} такая же, как группа C _s в разделе неаксиальных групп .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

C _{2 ч}

Z ₂ × Z ₂

4

	E	C ₂	я	σ _h
А _г	1	1	1	1	R _z	х ² , у ² , z ² , ху
B _г	1	−1	1	−1	R _x , R _y	xz , yz
А _ты	1	1	−1	−1	z
B _u	1	−1	−1	1	х , у

C _{3 ч}

Z ₆

6

	E	C ₃	С ₃²	σ _h	S ₃	С ₃⁵	θ = e ^{2π i / 3}
А '	1	1	1	1	1	1	R _z	х ² + у ² , z ²
E '	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	( х , у )	( х ² - у ² , ху )
А ''	1	1	1	−1	−1	−1	z
E ''	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	-1 -1	- θ - θ ^C	- θ ^C - θ	( R _x , R _y )	( xz , yz )

C _{4 ч}

Z ₂ × Z ₄

8

	E	C ₄	C ₂	С ₄³	я	С ₄³	σ _h	S ₄
А _г	1	1	1	1	1	1	1	1	R _z	х ² + у ² , z ²
B _г	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1		х ² - у ² , ху
E _g	1 1	я - я	-1 -1	- я я	1 1	я - я	-1 -1	- я я	( R _x , R _y )	( xz , yz )
А _ты	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	z
B _u	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1
E _u	1 1	я - я	-1 -1	- я я	-1 -1	- я я	1 1	я - я	( х , у )

C _{5 ч}

Z ₁₀

10

E

С ₅

С ₅²

С ₅³

С ₅⁴

σ _h

S ₅

С ₅⁷

С ₅³

С ₅⁹

θ = e ^{2π i / 5}

А '

1

R _z

х ² + у ² , z ²

E ₁ '

1
1

θ θ ^C

θ ²
( θ ² ) ^С

( θ ² ) ^C
θ ²

θ ^C
θ

1
1

θ θ ^C

θ ²
( θ ² ) ^С

( θ ² ) ^C
θ ²

θ ^C
θ

( х , у )

E ₂ '

1
1

θ ²
( θ ² ) ^С

θ ^C
θ

θ θ ^C

( θ ² ) ^C
θ ²

1
1

θ ²
( θ ² ) ^С

θ ^C
θ

θ θ ^C

( θ ² ) ^C
θ ²

( х ² - у ² , ху )

А ''

1

−1

z

E ₁ ''

1
1

θ θ ^C

θ ²
( θ ² ) ^С

( θ ² ) ^C
θ ²

θ ^C
θ

-1
-1

- θ - θ ^C

- θ ²
- ( θ ² ) ^C

- ( θ ² ) ^C
- θ ²

- θ ^C
- θ

( R _x , R _y )

( xz , yz )

E ₂ ''

1
1

θ ²
( θ ² ) ^С

θ ^C
θ

θ θ ^C

( θ ² ) ^C
θ ²

-1
-1

- θ ²
- ( θ ² ) ^C

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

- ( θ ² ) ^C
- θ ²

C _{6 ч}

Z ₂ × Z ₆

12

E

С ₆

C ₃

C ₂

С ₃²

С ₆⁵

я

С ₃⁵

С ₆⁵

σ _h

S ₆

S ₃

θ = e ^{2π i / 6}

А _г

1

R _z

х ² + у ² , z ²

B _г

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

E _1g

1
1

θ θ ^C

- θ ^C
- θ

-1
-1

- θ - θ ^C

θ ^C
θ

1
1

θ θ ^C

- θ ^C
- θ

-1
-1

- θ - θ ^C

θ ^C
θ

( R _x , R _y )

( xz , yz )

E _2g

1
1

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

1
1

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

1
1

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

1
1

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

( х ² - у ² , ху )

А _ты

1

−1

z

B _u

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

1

E _1u

1
1

θ θ ^C

- θ ^C
- θ

-1
-1

- θ - θ ^C

θ ^C
θ

-1
-1

- θ - θ ^C

θ ^C
θ

1
1

θ θ ^C

- θ ^C
- θ

( х , у )

E _2u

1
1

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

1
1

- θ ^C
- θ

- θ - θ ^C

-1
-1

θ ^C
θ

θ θ ^C

-1
-1

θ ^C
θ

θ θ ^C

Пирамидальные группы ( C _nv ) [ править ]

Пирамидальные группы обозначаются C _nv . Эти группы характеризуются: i) n- кратной осью собственного вращения C _n ; ii) n зеркальных плоскостей σ _v, содержащих C _n . Группа C _{1 v} такая же, как группа C _s в разделе неаксиальных групп .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

C _{2 v}

Z ₂ × Z ₂
(= D ₂ )

4

	E	C ₂	σ _v	σ _v '
А ₁	1	1	1	1	z	х ² , у ² , z ²
А ₂	1	1	−1	−1	R _z	ху
В ₁	1	−1	1	−1	R _y , x	xz
В ₂	1	−1	−1	1	R _x , y	yz

C _{3 v}

D ₃

6

	E	2 С ₃	3 σ _v
А ₁	1	1	1	z	х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	−1	R _z
E	2	−1	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( x ² - y ² , xy ), ( xz , yz )

C _{4 v}

D ₄

8

	E	2 С ₄	C ₂	2 σ _v	2 σ _d
А ₁	1	1	1	1	1	z	х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	−1	−1	R _z
В ₁	1	−1	1	1	−1		х ² - у ²
В ₂	1	−1	1	−1	1		ху
E	2	0	−2	0	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )

C _{5 v}

D ₅

10

	E	2 С ₅	2 С ₅²	5 σ _v	θ = 2π / 5
А ₁	1	1	1	1	z	х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	−1	R _z
E ₁	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0		( х ² - у ² , ху )

C _{6 v}

D ₆

12

	E	2 С ₆	2 С ₃	C ₂	3 σ _v	3 σ _д
А ₁	1	1	1	1	1	1	z	х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	1	−1	−1	R _z
В ₁	1	−1	1	−1	1	−1
В ₂	1	−1	1	−1	−1	1
E ₁	2	1	−1	−2	0	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	2	−1	−1	2	0	0		( х ² - у ² , ху )

Неправильные группы ротации ( S _n ) [ править ]

Несобственные группы вращений обозначаются S _n . Эти группы характеризуются n- кратной несобственной осью вращения S _n , где n обязательно четное. Группа S ₂ такая же, как группа C _i в разделе неаксиальных групп . Группы S _n с нечетным значением n идентичны группам C _{n h} с таким же n и поэтому здесь не рассматриваются (в частности, S ₁ идентичен C _s ).

Таблица S ₈ отражает обнаружение ошибок в старых ссылках в 2007 году. ^{[4] В} частности, ( R _x , R _y ) преобразуются не как E _1, а как E ₃ .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

S ₄

Z ₄

4

	E	S ₄	C ₂	С ₄³
А	1	1	1	1	R _z ,	х ² + у ² , z ²
B	1	−1	1	−1	z	х ² - у ² , ху
E	1 1	я - я	-1 -1	- я я	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )

S ₆

Z ₆

6

	E	S ₆	C ₃	я	С ₃²	С ₆⁵	θ = e ^{2π i / 6}
А _г	1	1	1	1	1	1	R _z	х ² + у ² , z ²
E _g	1 1	θ ^C θ	θ θ ^C	1 1	θ ^C θ	θ θ ^C	( R _x , R _y )	( x ² - y ² , xy ), ( xz , yz )
А _ты	1	−1	1	−1	1	−1	z
E _u	1 1	- θ ^C - θ	θ θ ^C	-1 -1	θ ^C θ	- θ - θ ^C	( х , у )

С ₈

Z ₈

8

	E	С ₈	C ₄	С ₈³	я	С ₈⁵	С ₄²	С ₈⁷	θ = e ^{2π i / 8}
А	1	1	1	1	1	1	1	1	R _z	х ² + у ² , z ²
B	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	z
E ₁	1 1	θ θ ^C	я - я	- θ ^C - θ	-1 -1	- θ - θ ^C	- я я	θ ^C θ	( х , у )	( xz , yz )
E ₂	1 1	я - я	-1 -1	- я я	1 1	я - я	-1 -1	- я я		( х ² - у ² , ху )
E ₃	1 1	- θ ^C - θ	- я я	θ θ ^C	-1 -1	θ ^C θ	я - я	- θ - θ ^C	( R _x , R _y )	( xz , yz )

Двугранные симметрии [ править ]

Семейства групп с такими симметриями характеризуются осями собственного вращения 2-го порядка, нормальными к главной оси вращения.

Группы диэдра ( D _n ) [ править ]

Группы диэдра обозначаются D _n . Эти группы характеризуются: i) n- кратной осью собственного вращения C _n ; ii) n 2-кратных осей собственного вращения C _2, нормальных к C _n . Группа D ₁ такая же, как группа C ₂ в разделе циклических групп .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

D ₂

Z ₂ × Z ₂
(= D ₂ )

4

	E	С ₂ ( г )	С ₂ ( х )	C ₂ ( у )
А	1	1	1	1		х ² , у ² , z ²
В ₁	1	1	−1	−1	R _z , z	ху
В ₂	1	−1	−1	1	R _y , y	xz
В ₃	1	−1	1	−1	R _x , x	yz

D ₃

6

	E	2 С ₃	3 C ' ₂
А ₁	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	−1	R _z , z
E	2	−1	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( x ² - y ² , xy ), ( xz , yz )

D ₄

8

	E	2 С ₄	C ₂	2 С ₂ '	2 C ₂ ''
А ₁	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	−1	−1	R _z , z
В ₁	1	−1	1	1	−1		х ² - у ²
В ₂	1	−1	1	−1	1		ху
E	2	0	−2	0	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )

D ₅

10

	E	2 С ₅	2 С ₅²	5 С ₂	θ = 2π / 5
А ₁	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	−1	R _z , z
E ₁	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0		( х ² - у ² , ху )

D ₆

12

	E	2 С ₆	2 С ₃	C ₂	3 С ₂ '	3 C ₂ ''
А ₁	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	1	−1	−1	R _z , z
В ₁	1	−1	1	−1	1	−1
В ₂	1	−1	1	−1	−1	1
E ₁	2	1	−1	−2	0	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )
E ₂	2	−1	−1	2	0	0		( х ² - у ² , ху )

Призматические группы ( D _nh ) [ править ]

Призматические группы обозначены D _nh . Эти группы характеризуются: i) n- кратной осью собственного вращения C _n ; ii) n 2-кратных осей собственного вращения C _2, нормальных к C _n ; iii) зеркальная плоскость σ _h, нормальная к C _n и содержащая C ₂ s. Группа D _{1 h} такая же, как группа C _{2 v} в разделе пирамидальных групп .

Таблица D _{8 h} отражает обнаружение ошибок в старых ссылках в 2007 году. ^{[4] В} частности, заголовки столбцов 2S ₈ и 2S ₈³ операции симметрии были перевернуты в старых ссылках.

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

Д _{2 ч}

Z ₂ × Z ₂ × Z ₂
(= Z ₂ × D ₂ )

8

	E	C ₂	С ₂ (х)	C ₂ (у)	я	σ (ху)	σ (xz)	σ (yz)
А _г	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² , у ² , z ²
B _{1 г}	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	R _z	ху
B _2g	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	R _y	xz
B _3g	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	R _x	yz
А _ты	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1
B _1u	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	z
B _2u	1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	y
B _3u	1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	Икс

Д _{3 ч}

D ₆

12

	E	2 С ₃	3 С ₂	σ _h	2 S ₃	3 σ _v
А ₁ '	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂ '	1	1	−1	1	1	−1	R _z
E '	2	−1	0	2	−1	0	( х , у )	( х ² - у ² , ху )
А ₁ ''	1	1	1	−1	−1	−1
А ₂ ''	1	1	−1	−1	−1	1	z
E ''	2	−1	0	−2	1	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )

Д _{4 ч}

Z ₂ × D ₄

16

	E	2 С ₄	C ₂	2 С ₂ '	2 C ₂ ''	я	2 S ₄	σ _h	2 σ _v	2 σ _d
_1g	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
_2g	1	1	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	R _z
B _{1 г}	1	−1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1		х ² - у ²
B _2g	1	−1	1	−1	1	1	−1	1	−1	1		ху
E _g	2	0	−2	0	0	2	0	−2	0	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )
A _1u	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1
A _2u	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	1	1	z
B _1u	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	1
B _2u	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
E _u	2	0	−2	0	0	−2	0	2	0	0	( х , у )

Д _{5 ч}

D ₁₀

20

	E	2 С ₅	2 С ₅²	5 С ₂	σ _h	2 S ₅	2 S ₅³	5 σ _v	θ = 2π / 5
А ₁ '	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂ '	1	1	1	−1	1	1	1	−1	R _z
E ₁ '	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	( х , у )
E ₂ '	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0		( х ² - у ² , ху )
А ₁ ''	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1
А ₂ ''	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	z
E ₁ ''	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	−2	−2 cos ( θ )	−2 cos (2 θ )	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )
E ₂ ''	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0	−2	−2 cos (2 θ )	−2 cos ( θ )	0

Д _{6 ч}

Z ₂ × D ₆

24

	E	2 С ₆	2 С ₃	C ₂	3 С ₂ '	3 C ₂ ''	я	2 S ₃	2 S ₆	σ _h	3 σ _д	3 σ _v
_1g	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
_2g	1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	−1	R _z
B _{1 г}	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
B _2g	1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	−1	1
E _1g	2	1	−1	−2	0	0	2	1	−1	−2	0	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )
E _2g	2	−1	−1	2	0	0	2	−1	−1	2	0	0		( х ² - у ² , ху )
A _1u	1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
A _2u	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	1	z
B _1u	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	1
B _2u	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	−1
E _1u	2	1	−1	−2	0	0	−2	−1	1	2	0	0	( х , у )
E _2u	2	−1	−1	2	0	0	−2	1	1	−2	0	0

Д _{8 ч}

Z ₂ × D ₈

32

	E	2 С ₈	2 С ₈³	2 С ₄	C ₂	4 С ₂ '	4 C ₂ ''	я	2 S ₈³	2 S ₈	2 S ₄	σ _h	4 σ _д	4 σ _v	θ = 2 ^1/2
_1g	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
_2g	1	1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1	−1	R _z
B _{1 г}	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1
B _2g	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	1
E _1g	2	θ	- θ	0	−2	0	0	2	θ	- θ	0	−2	0	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )
E _2g	2	0	0	−2	2	0	0	2	0	0	−2	2	0	0		( х ² - у ² , ху )
E _3g	2	- θ	θ	0	−2	0	0	2	- θ	θ	0	−2	0	0
A _1u	1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
A _2u	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	1	z
B _1u	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
B _2u	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1
E _1u	2	θ	- θ	0	−2	0	0	−2	- θ	θ	0	2	0	0	( х , у )
E _2u	2	0	0	−2	2	0	0	−2	0	0	2	−2	0	0
E _3u	2	- θ	θ	0	−2	0	0	−2	θ	- θ	0	2	0	0

Антипризматические группы ( D _nd ) [ править ]

Антипризматические группы обозначены D _nd . Эти группы характеризуются: i) n- кратной осью собственного вращения C _n ; ii) n 2-кратных осей собственного вращения C _2, нормальных к C _n ; iii) n зеркальных плоскостей σ _d, содержащих C _n . Группа D _{1 d} такая же, как группа C _{2 h} в разделе групп отражений .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

D _{2 d}

D ₄

8

	E	2 S ₄	C ₂	2 С ₂ '	2 σ _d
А ₁	1	1	1	1	1		х ² , у ² , z ²
А ₂	1	1	1	−1	−1	R _z
В ₁	1	−1	1	1	−1		х ² - у ²
В ₂	1	−1	1	−1	1	z	ху
E	2	0	−2	0	0	( R _x , R _y ), ( x , y )	( xz , yz )

Д _{3 д}

D ₆

12

	E	2 С ₃	3 С ₂	я	2 S ₆	3 σ _д
_1g	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
_2g	1	1	−1	1	1	−1	R _z
E _g	2	−1	0	2	−1	0	( R _x , R _y )	( x ² - y ² , xy ), ( xz , yz )
A _1u	1	1	1	−1	−1	−1
A _2u	1	1	−1	−1	−1	1	z
E _u	2	−1	0	−2	1	0	( х , у )

Д _{4 д}

D ₈

16

	E	2 S ₈	2 С ₄	2 S ₈³	C ₂	4 С ₂ '	4 σ _д	θ = 2 ^1/2
А ₁	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	1	1	−1	−1	R _z
В ₁	1	−1	1	−1	1	1	−1
В ₂	1	−1	1	−1	1	−1	1	z
E ₁	2	θ	0	- θ	−2	0	0	( х , у )
E ₂	2	0	−2	0	2	0	0		( х ² - у ² , ху )
E ₃	2	- θ	0	θ	−2	0	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )

Д _{5 д}

D ₁₀

20

	E	2 С ₅	2 С ₅²	5 С ₂	я	2 S ₁₀	2 Ю ₁₀³	5 σ _д	θ = 2π / 5
_1g	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
_2g	1	1	1	−1	1	1	1	−1	R _z
E _1g	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )
E _2g	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0		( х ² - у ² , ху )
A _1u	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1
A _2u	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	z
E _1u	2	2 cos ( θ )	2 cos (2 θ )	0	−2	−2 cos (2 θ )	−2 cos ( θ )	0	( х , у )
E _2u	2	2 cos (2 θ )	2 cos ( θ )	0	−2	−2 cos ( θ )	−2 cos (2 θ )	0

Д _{6 д}

D ₁₂

24

	E	2 S ₁₂	2 С ₆	2 S ₄	2 С ₃	2 S ₁₂⁵	C ₂	6 С ₂ '	6 σ _д	θ = 3 ^1/2
А ₁	1	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² , z ²
А ₂	1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	R _z
В ₁	1	−1	1	−1	1	−1	1	1	−1
В ₂	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	z
E ₁	2	θ	1	0	−1	- θ	−2	0	0	( х , у )
E ₂	2	1	−1	−2	−1	1	2	0	0		( х ² - у ² , ху )
E ₃	2	0	−2	0	2	0	−2	0	0
E ₄	2	−1	−1	2	−1	−1	2	0	0
E ₅	2	- θ	1	0	−1	θ	−2	0	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )

Многогранные симметрии [ править ]

Эти симметрии характеризуются наличием более одной оси собственного вращения с порядком выше 2.

Кубические группы [ править ]

Эти полиэдральные группы не имеют собственной оси вращения C ₅ .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

Т

А ₄

12

	E	4 С ₃	4 С ₃²	3 С ₂	θ = e ^{2π i / 3}
А	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
E	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	1 1		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² )
Т	3	0	0	−1	( R _x , R _y , R _z ), ( x , y , z )	( xy , xz , yz )

Т д

S ₄

24

	E	8 С ₃	3 С ₂	6 S ₄	6 σ _д
А ₁	1	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
А ₂	1	1	1	−1	−1
E	2	−1	2	0	0		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² )
Т ₁	3	0	−1	1	−1	( R _x , R _y , R _z )
Т ₂	3	0	−1	−1	1	( х , у , г )	( xy , xz , yz )

Т ч

Z ₂ × A ₄

24

	E	4 С ₃	4 С ₃²	3 С ₂	я	4 S ₆	4 S ₆⁵	3 σ _ч	θ = e ^{2π i / 3}
А _г	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
А _ты	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1
E _g	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	1 1	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	1 1		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² )
E _u	1 1	θ θ ^C	θ ^C θ	1 1	-1 -1	- θ - θ ^C	- θ ^C - θ	-1 -1
Т _г	3	0	0	−1	3	0	0	−1	( R _x , R _y , R _z )	( xy , xz , yz )
T _u	3	0	0	−1	−3	0	0	1	( х , у , г )

О

S ₄

24

	E	6 С ₄	3 С ₂ ( С ₄² )	8 С ₃	6 C ' ₂
А ₁	1	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
А ₂	1	−1	1	1	−1
E	2	0	2	−1	0		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² )
Т ₁	3	1	−1	0	−1	( R _x , R _y , R _z ), ( x , y , z )
Т ₂	3	−1	−1	0	1		( xy , xz , yz )

О ч

Z ₂ × S ₄

48

	E	8 С ₃	6 С ₂	6 С ₄	3 С ₂ ( С ₄² )	я	6 S ₄	8 S ₆	3 σ _ч	6 σ _д
_1g	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
_2g	1	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1
E _g	2	−1	0	0	2	2	0	−1	2	0		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² )
Т _1г	3	0	−1	1	−1	3	1	0	−1	−1	( R _x , R _y , R _z )
Т _2г	3	0	1	−1	−1	3	−1	0	−1	1		( xy , xz , yz )
A _1u	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1
A _2u	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	1
E _u	2	−1	0	0	2	−2	0	1	−2	0
T _1u	3	0	−1	1	−1	−3	−1	0	1	1	( х , у , г )
T _2u	3	0	1	−1	−1	−3	1	0	1	−1

Группы икосаэдров [ править ]

Эти полиэдральные группы характеризуются наличием собственной оси вращения C ₅ .

Группа точек

Каноническая
группа

Заказ

Таблица символов

я

А ₅

60

	E	12 С ₅	12 С ₅²	20 С ₃	15 С ₂	θ = π / 5
А	1	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
Т ₁	3	2 cos ( θ )	2 cos (3 θ )	0	−1	( R _x , R _y , R _z ), ( x , y , z )
Т ₂	3	2 cos (3 θ )	2 cos ( θ )	0	−1
грамм	4	−1	−1	1	0
ЧАС	5	0	0	−1	1		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² , xy , xz , yz )

Я _ч

Z ₂ × A ₅

120

	E	12 С ₅	12 С ₅²	20 С ₃	15 С ₂	я	12 Ю ₁₀	12 Ю ₁₀³	20 S ₆	15 σ	θ = π / 5
А _г	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		х ² + у ² + г ²
Т _1г	3	2 cos ( θ )	2 cos (3 θ )	0	−1	3	2 cos (3 θ )	2 cos ( θ )	0	−1	( R _x , R _y , R _z )
Т _2г	3	2 cos (3 θ )	2 cos ( θ )	0	−1	3	2 cos ( θ )	2 cos (3 θ )	0	−1
G _г	4	−1	−1	1	0	4	−1	−1	1	0
H _г	5	0	0	−1	1	5	0	0	−1	1		(2 z ² - x ² - y ² , x ² - y ² , xy , xz , yz )
А _ты	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1
T _1u	3	2 cos ( θ )	2 cos (3 θ )	0	−1	−3	−2 cos (3 θ )	−2 cos ( θ )	0	1	( х , у , г )
T _2u	3	2 cos (3 θ )	2 cos ( θ )	0	−1	−3	−2 cos ( θ )	−2 cos (3 θ )	0	1
G _u	4	−1	−1	1	0	−4	1	1	−1	0
H _u	5	0	0	−1	1	−5	0	0	1	−1

Линейные (цилиндрические) группы [ править ]

Эти группы характеризуются наличием собственной оси вращения C _∞, вокруг которой симметрия инвариантна к любому вращению.

Группа точек

Таблица символов

C _∞v

	E	2 C _∞^Φ	...	∞ σ _v
А ₁ = Σ ⁺	1	1	...	1	z	х ² + у ² , z ²
А ₂ = Σ ^-	1	1	...	−1	R _z
E ₁ = Π	2	2 cos (Φ)	...	0	( х , у ), ( R _x , R _y )	( xz , yz )
E ₂ = Δ	2	2 cos (2Φ)	...	0		( х ² - у ² , ху )
E ₃ = Φ	2	2 cos (3Φ)	...	0
...	...	...	...	...

D _∞h

	E	2 C _∞^Φ	...	∞ σ _v	я	2 S _∞^Φ	...	∞ C ₂
Σ _g⁺	1	1	...	1	1	1	...	1		х ² + у ² , z ²
Σ _г^-	1	1	...	−1	1	1	...	−1	R _z
Π _г	2	2 cos (Φ)	...	0	2	−2 cos (Φ)	..	0	( R _x , R _y )	( xz , yz )
Δ _г	2	2 cos (2Φ)	...	0	2	2 cos (2Φ)	..	0		( х ² - у ² , ху )
...	...	...	...	...	...	...	...	...
Σ _u⁺	1	1	...	1	−1	−1	...	−1	z
Σ _u^-	1	1	...	−1	−1	−1	...	1
Π _ты	2	2 cos (Φ)	...	0	−2	2 cos (Φ)	..	0	( х , у )
Δ _u	2	2 cos (2Φ)	...	0	−2	−2 cos (2Φ)	..	0
...	...	...	...	...	...	...	...	...

См. Также [ править ]

Линейная комбинация атомных орбиталей (метод молекулярных орбиталей)
Рамановская спектроскопия
Колебательная спектроскопия (молекулярная вибрация)
Список малых групп
Кубические гармоники

Заметки [ править ]

^ Драго, Рассел С. (1977). Физические методы в химии . Компания WB Saunders. ISBN 0-7216-3184-3.
^ Коттон, Ф. Альберт (1990). Химические приложения теории групп . Джон Вили и сыновья: Нью-Йорк. ISBN 0-471-51094-7.
^ Gelessus Ахим (2007-07-12). «Таблицы характеров для химически важных точечных групп» . Университет Якобса, Бремин; Вычислительная лаборатория анализа, моделирования и визуализации . Проверено 12 июля 2007 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ a b c Рубашки, Рэндалл Б. (2007). «Исправление двух давних ошибок в таблицах симметрии точечных групп» . Журнал химического образования . Американское химическое общество . 84 (1882): 1882. Bibcode : 2007JChEd..84.1882S . DOI : 10.1021 / ed084p1882 . Проверено 16 октября 2007 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Vanovschi, Vitalii. "ТАБЛИЦЫ СИММЕТРИИ ХАРАКТЕРОВ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ" . WebQC.Org . Проверено 29 октября 2008 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Малликен, Роберт С. (1933-02-15). «Электронные структуры многоатомных молекул и валентность. IV. Электронные состояния, квантовая теория двойной связи». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 43 (4): 279–302. DOI : 10.1103 / Physrev.43.279 . ISSN 0031-899X .

Внешние ссылки [ править ]

Таблицы символов для многих других точечных групп (включая преобразования симметрии декартовых произведений до шестого порядка)

Дальнейшее чтение [ править ]

Бункер, Филип; Дженсен, Пер (2006). Молекулярная симметрия и спектроскопия, второе издание . Оттава : NRC Research Press. ISBN 0-660-19628-X.

[1] Драго, Рассел С. (1977). Физические методы в химии . Компания WB Saunders. ISBN 0-7216-3184-3.

[2] Коттон, Ф. Альберт (1990). Химические приложения теории групп . Джон Вили и сыновья: Нью-Йорк. ISBN 0-471-51094-7.

[3] Gelessus Ахим (2007-07-12). «Таблицы характеров для химически важных точечных групп» . Университет Якобса, Бремин; Вычислительная лаборатория анализа, моделирования и визуализации . Проверено 12 июля 2007 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[ShirtsFixJCE-4] Рубашки, Рэндалл Б. (2007). «Исправление двух давних ошибок в таблицах симметрии точечных групп» . Журнал химического образования . Американское химическое общество . 84 (1882): 1882. Bibcode : 2007JChEd..84.1882S . DOI : 10.1021 / ed084p1882 . Проверено 16 октября 2007 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[5] Vanovschi, Vitalii. "ТАБЛИЦЫ СИММЕТРИИ ХАРАКТЕРОВ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ" . WebQC.Org . Проверено 29 октября 2008 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[6] Малликен, Роберт С. (1933-02-15). «Электронные структуры многоатомных молекул и валентность. IV. Электронные состояния, квантовая теория двойной связи». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 43 (4): 279–302. DOI : 10.1103 / Physrev.43.279 . ISSN 0031-899X .

[1]

Список таблиц символов для химически важных трехмерных точечных групп

Обозначение [ править ]

Таблицы персонажей [ править ]

Неаксиальные симметрии [ править ]

Циклические симметрии [ править ]

Циклические группы ( C n ) [ править ]

Группы отражения ( C nh ) [ править ]

Пирамидальные группы ( C nv ) [ править ]

Неправильные группы ротации ( S n ) [ править ]

Двугранные симметрии [ править ]

Группы диэдра ( D n ) [ править ]

Призматические группы ( D nh ) [ править ]

Антипризматические группы ( D nd ) [ править ]

Многогранные симметрии [ править ]

Кубические группы [ править ]

Группы икосаэдров [ править ]

Линейные (цилиндрические) группы [ править ]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Циклические группы ( C _n ) [ править ]

Группы отражения ( C _nh ) [ править ]

Пирамидальные группы ( C _nv ) [ править ]

Неправильные группы ротации ( S _n ) [ править ]

Группы диэдра ( D _n ) [ править ]

Призматические группы ( D _nh ) [ править ]

Антипризматические группы ( D _nd ) [ править ]