Группа линий

Группа линий - это математический способ описания симметрии, связанной с движением по линии. Эти симметрии включают повторение вдоль этой линии, что делает эту линию одномерной решеткой. Однако группы линий могут иметь более одного измерения, и они могут включать эти измерения в свои изометрии или преобразования симметрии.

Строят линейную группу, беря точечную группу во всех измерениях пространства, а затем добавляя сдвиги или смещения вдоль линии к каждому из элементов точечной группы, как при построении пространственной группы . Эти смещения включают повторы и часть повтора, по одной доле для каждого элемента. Для удобства дроби масштабируются по размеру раппорта; таким образом, они находятся внутри сегмента элементарной ячейки линии .

Одномерный [ править ]

Есть 2 одномерные группы линий . Это бесконечные пределы дискретных двумерных точечных групп C _n и D _n :

Обозначения				Описание	Пример
Intl	Орбифолд	Coxeter	PG	Описание	Пример
p1	∞∞	[∞] ⁺	C _∞	Переводы. Абстрактная группа Z, целые числа при сложении	... -> -> -> -> ...
p1m	* ∞∞	[∞]	D _∞	Размышления. Абстрактная группа Dih _∞ , бесконечная группа диэдра	... -> <- -> <- ...

Двумерный [ править ]

Есть 7 групп фризов , которые включают отражения вдоль линии, отражения, перпендикулярные линии, и повороты на 180 ° в двух измерениях.

7 обозначений и схемы групп фризов
IUC	Орбифолд	Schönflies	Конвей	Coxeter
p1	∞∞	C _∞	C _∞	[∞, 1] ⁺
p1m1	* ∞∞	C _∞v	CD _2∞	[∞, 1]
p11g	∞x	S _2∞	CC _2∞	[∞ ⁺ , 2 ⁺ ]
p11m	∞ *	C _∞h	± C _∞	[∞ ⁺ , 2]
p2	22∞	D _∞	D _2∞	[∞, 2] ⁺
p2mg	2 * ∞	D _∞d	DD _4∞	[∞, 2 ⁺ ]
p2мм	* 22∞	D _∞h	± D _2∞	[∞, 2]

Трехмерный [ править ]

Существует 13 бесконечных семейств трехмерных групп прямых ^[1], производных от 7 бесконечных семейств аксиальных трехмерных точечных групп . Как и в случае с пространственными группами в целом, группы линий с одной и той же группой точек могут иметь разные образцы смещения. Каждое из семейств основано на группе вращений вокруг оси с порядком n . Группы перечислены в обозначениях Германа-Могена , а для точечных групп - в обозначениях Шенфлиса . Похоже, что нет сопоставимых обозначений для групп линий. Эти группы также можно интерпретировать как образцы групп обоев ^[2], обернутых вокруг цилиндра n.раз и бесконечно повторяется вдоль оси цилиндра, так же, как трехмерные точечные группы и группы фризов. Таблица этих групп:

Группа точек					Группа линий
HM		Schönf.	Сфера.	Кокс.	HM		Тип смещения	Обои			Кокстер [∞ _h , 2, p _v ]
Даже п	Одд п	Schönf.	Сфера.	Кокс.	Даже п	Одд п	Тип смещения	IUC	Орбифолд	Диаграмма	Кокстер [∞ _h , 2, p _v ]
п		C _n	nn	[n] ⁺	P n _q		Спиральный: q	p1	о		[∞ ⁺ , 2, n ⁺ ]
2 п	п	S _{2 н}	п ×	[2 ⁺ , 2n ⁺ ]	П 2 н	P n	Никто	p11g, pg (h)	××		[(∞, 2) ⁺ , 2n ⁺ ]
н / м	2 п	C _{n h}	п *	[2, n ⁺ ]	P н / м	П 2 н	Никто	p11m, pm (ч)	**		[∞ ⁺ , 2, n]
2 н / м		C _{2 n h}	(2n) *	[2,2n ⁺ ]	P2 н _н / м		Зигзаг	c11m, см (h)	* ×		[∞ ⁺ , 2 ⁺ , 2n]
п мм	п м	C _{n v}	* нн	[n]	P n мм	P n m	Никто	p1m1, pm (v)	**		[∞, 2, n ⁺ ]
п мм	п м	C _{n v}	* нн	[n]	P n cc	P n c	Никто	p1g1, pg (v)	××		[∞ ⁺ , (2, n) ⁺ ]
2 н мм		C _{2 n v}	* (2n) (2n)	[2n]	P2 n _n mc		Зигзаг	c1m1, см (в)	* ×		[∞, 2 ⁺ , 2n ⁺ ]
п 22	п 2	D _n	n22	[2, n] ⁺	P n _q 22	P n _q 2	Спиральный: q	p2	2222		[∞, 2, n] ⁺
2 н 2 м	п м	Д _{н д}	2 * п	[2 ⁺ , 2n]	П 2 н 2 м	P n m	Никто	p2gm, pmg (v)	22 *		[(∞, 2) ⁺ , 2n]
2 н 2 м	п м	Д _{н д}	2 * п	[2 ⁺ , 2n]	P 2 n 2c	P n c	Никто	p2gg, pgg	22 ×		[ ⁺ (∞, (2), 2n) ⁺ ]
н / ммм	2 н 2 м	Д _{п ч}	* n22	[2, n]	P н / ммм	П 2 н 2 м	Никто	p2мм, pмм	* 2222		[∞, 2, n]
н / ммм	2 н 2 м	Д _{п ч}	* n22	[2, n]	P n / mcc	P 2 n 2c	Никто	p2mg, pmg (ч)	22 *		[∞, (2, n) ⁺ ]
2 н / ммм		Д _{2 н ч}	* (2n) 22	[2,2n]	P2 n _n / мкм		Зигзаг	c2мм, см	2 * 22		[∞, 2 ⁺ , 2n]

Типы смещения:

Никто. Смещения вдоль оси не включают смещения вокруг нее с точностью до повторов элементарной ячейки вокруг оси.
Спиральное смещение со спиральностью q . Для единичного смещения по оси существует смещение на q вокруг нее. Точка, имеющая повторяющиеся смещения, будет иметь спираль.
Зигзагообразное смещение. Спиральное смещение 1/2 относительно элементарной ячейки вокруг оси.

Обратите внимание, что группы обоев pm, pg, cm и pmg появляются дважды. Каждый внешний вид имеет разную ориентацию относительно оси группы линий; отражение параллельно (h) или перпендикулярно (v). У остальных групп такой ориентации нет: p1, p2, pmm, pgg, cmm.

Если точечная группа ограничена, чтобы быть кристаллографической точечной группой , симметрией некоторой трехмерной решетки, то результирующая группа линий называется группой стержней . Всего 75 групп стержней.

Обозначения Косетера основано на прямоугольных обоях групп, с вертикальной осью , завернутой в цилиндр порядка симметрии п или 2n .

Переходя к континуальному пределу, от n до ∞, возможные точечные группы становятся C _∞ , C _∞h , C _∞v , D _∞ и D _∞h , а группы _прямых имеют соответствующие возможные смещения, за исключением зигзагообразных .

Спиральная симметрия [ править ]

Спираль Boerdijk-Косетер , цепь регулярных тетраэдров , показывает спиральную симметрию без целого числа оборотов , чтобы повторить оригинальную ориентацию.

Группы C _n ( q ) и D _n ( q ) выражают симметрии спиральных объектов. C _n ( q ) - для n спиралей, ориентированных в одном направлении, а D _n ( q ) - для n неориентированных спиралей и 2n спиралей с чередующейся ориентацией. Изменение знака q на противоположное создает зеркальное отображение, изменяя хиральность спиралей или их направленность.

Нуклеиновые кислоты , ДНК и РНК , хорошо известны своей спиральной симметрией. Нуклеиновые кислоты имеют четко определенное направление, давая одиночные цепи C ₁ ( q ). Двойные нити имеют противоположные направления и находятся на противоположных сторонах оси спирали, что дает им D ₁ ( q ).

См. Также [ править ]

Группа точек
Космическая группа
Одномерная группа симметрии
Группа Frieze
Группа стержней

Ссылки [ править ]

^ Дамнянович, Милан; Милошевич, Иванка (2010), «Структура групп линий» (PDF) , Группы линий в физике: теория и приложения к нанотрубкам и полимерам (конспекты лекций по физике) , Springer, ISBN 978-3-642-11171-6
^ Рассат, Андре (1996), «Симметрия в сфероалканах, фуллеренах, канальцах и других столбчатых агрегатах», в Tsoucaris, Georges; Этвуд, JL; Липковски, Януш (ред.), Кристаллография супрамолекулярных соединений , НАТО Science Series C: (закрыто), 480 , Springer, стр. 181–201, ISBN 978-0-7923-4051-5(books.google.com [1] )

[1] Дамнянович, Милан; Милошевич, Иванка (2010), «Структура групп линий» (PDF) , Группы линий в физике: теория и приложения к нанотрубкам и полимерам (конспекты лекций по физике) , Springer, ISBN 978-3-642-11171-6

[2] Рассат, Андре (1996), «Симметрия в сфероалканах, фуллеренах, канальцах и других столбчатых агрегатах», в Tsoucaris, Georges; Этвуд, JL; Липковски, Януш (ред.), Кристаллография супрамолекулярных соединений , НАТО Science Series C: (закрыто), 480 , Springer, стр. 181–201, ISBN 978-0-7923-4051-5(books.google.com [1] )

[1],