Области математики

Математика
0–9 А B C D E F грамм ЧАС я J K L M N О п Q р S Т U V W Икс Y Z
Математики
А B C D E F грамм ЧАС я J K L M N О п Q р S Т U V W Икс Y Z
Навигация
Списки Контур Портал Области
v т е

Математика включает в себя все большее разнообразие и глубину предметов по истории , и ее понимание требует системы, чтобы классифицировать и организовать эти различные предметы в более общие области математики . Возникло множество различных схем классификации, и, хотя они имеют некоторые общие черты, есть различия, частично обусловленные разными целями, которым они служат.

Традиционное разделение математики на чистую математику ; математика изучалась из-за ее внутреннего интереса и прикладная математика ; математика, которая может быть напрямую применена к реальным задачам. ^{[примечание 1]} Это разделение не всегда ясно, и многие предметы были разработаны как чистая математика, чтобы впоследствии найти неожиданные приложения. В последнее время появились широкие разделы, такие как дискретная математика , вычислительная математика и т. Д.

Идеальная система классификации позволяет добавлять новые области в организацию предыдущих знаний и вписывать в схему удивительные открытия и неожиданные взаимодействия. Например, программа Ленглендса обнаружила неожиданные связи между областями, ранее считавшимися несвязанными, по крайней мере, группами Галуа , римановыми поверхностями и теорией чисел .

Системы классификации [ править ]

• Mathematics Subject Classification (MSC) производится сотрудниками обзора базы данных Математические обзоры и Zentralblatt МАТЕМАТИКА . Многие математические журналы просят авторов маркировать свои статьи предметными кодами MSC. MSC делит математику на более чем 60 областей с дальнейшими подразделениями в каждой области.
• В Классификации Библиотеки Конгресса математике отнесены многие подклассы QA внутри класса Q (Наука). LCC определяет широкие подразделения, а отдельным предметам присваиваются конкретные числовые значения.
• В Десятичной классификации Дьюи присваивает математику разделения 510, с подразделениями по алгебре и теории чисел , арифметике , топологии , анализ , геометрия , численный анализу , и Вероятности и прикладной математике .
• Список категорий в математике используется arXiv для категоризации препринтов . Он отличается от MSC; например, он включает такие вещи, как квантовая алгебра .
• ИДУ использует свою структуру программы для организации лекций на ее МКД каждые четыре года. Один из разделов верхнего уровня, которого нет в MSC, - это теория Ли .
• Система классификации вычислений ACM включает пару математических категорий F. Теория вычислений и G. Математика вычислений.
• MathOverflow имеет систему тегов .
• Математика книгоиздатели , такие как Springer ( Поддисциплины ), Кембридж ( Обзор математика и статистика ) и AMS ( предметная область ) используют свои собственные предметные списки на своих сайтах , чтобы позволить клиентам просматривать книги или фильтровать результаты поиска по субдисциплине, включая такие темы, как математическая биология и математические финансы как заголовки высшего уровня.
• В школах и других образовательных учреждениях есть учебные планы .
• Научно-исследовательские институты и математические факультеты университетов часто имеют кафедры или учебные группы. например, в SIAM есть группы деятельности для своих членов.
• В Википедии в статьях используется система Категория: Математика , а также есть список списков по математике .

Основные разделы математики [ править ]

Чистая математика [ править ]

Основы (включая теорию множеств и математическую логику ) [ править ]

Математики всегда работали с логикой и символами, но на протяжении веков основные законы логики считались само собой разумеющимися и никогда не выражались символически. Математическая логика , также известная как символическая логика , была разработана, когда люди наконец поняли, что инструменты математики можно использовать для изучения структуры самой логики. Области исследований в этой области быстро расширились и обычно подразделяются на несколько отдельных подполей.

• Теория доказательств и конструктивная математика  : теория доказательств выросла из амбициозной программы Дэвида Гильберта по формализации всех доказательств в математике. Самый известный результат в этой области заключен в теоремах Гёделя о неполноте . Близко родственная и сейчас довольно популярная концепция - это идея машин Тьюринга . Конструктивизм - это результат неортодоксального взгляда Брауэра на природу самой логики; Говоря конструктивно, математики не могут утверждать: «Либо круг круглый, либо нет», пока они на самом деле не покажут круг и не измерит его округлость.

• Теория моделей  : теория моделей изучает математические структуры в общих рамках. Его главный инструмент - логика первого порядка .

• Теория множеств  : множество можно рассматривать как набор отдельных вещей, объединенных некоторой общей чертой. Теория множеств подразделяется на три основных направления. Наивная теория множеств - это первоначальная теория множеств, разработанная математиками в конце XIX века. Аксиоматическая теория множеств - это строгая аксиоматическая теория, разработанная в ответ на обнаружение серьезных недостатков (таких как парадокс Рассела ) в наивной теории множеств. Он рассматривает множества как «все, что удовлетворяет аксиомам», а понятие совокупностей вещей служит только мотивацией для аксиом. Теория внутренних множеств - это аксиоматическое расширение теории множеств, поддерживающее логически непротиворечивоеидентификация безграничных (чрезвычайно больших) и бесконечно малых (невообразимо малых) элементов в вещественных числах . См. Также Список тем теории множеств .

История и биография [ править ]

История математики неразрывно связана с самим предметом. Это совершенно естественно: математика имеет внутреннюю органическую структуру, которая выводит новые теоремы из уже существующих. По мере того как каждое новое поколение математиков опирается на достижения своих предков, сам предмет расширяется и вырастает новые слои, как лук.

Развлекательная математика [ править ]

От магических квадратов до множества Мандельброта числа на протяжении веков были источником веселья и удовольствия для миллионов людей. Многие важные разделы «серьезной» математики уходят корнями в то, что когда-то было простой головоломкой и / или игрой.

Теория чисел [ править ]

Теория чисел - это изучение чисел и свойств операций между ними. Теория чисел традиционно занимается свойствами целых чисел , но в последнее время она стала заниматься более широкими классами проблем, которые естественным образом возникли в результате изучения целых чисел.

• Арифметика  : элементарная часть теории чисел, которая в первую очередь фокусируется на изучении натуральных чисел , целых чисел , дробей и десятичных знаков , а также свойств традиционных операций над ними: сложения , вычитания , умножения и деления . Вплоть до XIX века арифметика и теория чисел были синонимами, но развитие и рост этой области привели к тому, что арифметика относилась только к элементарной ветви теории чисел.

• Элементарная теория чисел: изучение целых чисел на более высоком уровне, чем арифметика , где термин «элементарный» здесь относится к тому факту, что не используются методы из других математических областей.

• Аналитическая теория чисел  : исчисление и комплексный анализ используются как инструменты для изучения целых чисел.

• Алгебраическая теория чисел  : методы абстрактной алгебры используются для изучения целых чисел, а также алгебраических чисел , корней многочленов с целыми коэффициентами .

• Другие разделы теории чисел: геометрическая теория чисел ; комбинаторная теория чисел ; трансцендентная теория чисел ; и вычислительная теория чисел . См. Также список тем по теории чисел .

Алгебра [ править ]

Изучение структуры начинается с чисел , сначала знакомых натуральных и целых чисел и их арифметических операций, которые записываются в элементарной алгебре . Более глубокие свойства этих чисел изучаются в теории чисел . Изучение методов решения уравнений приводит к области абстрактной алгебры , которая, помимо прочего, изучает кольца и поля , структуры, обобщающие свойства, которыми обладают обычные числа. Давние вопросы о конструкциях компаса и линейки были окончательно разрешены теорией Галуа.. Физически важное понятие векторов , обобщенное на векторные пространства , изучается в линейной алгебре . Общие для всех видов алгебраических структур темы изучаются в универсальной алгебре .

• Теория порядка  : для любых двух различных действительных чисел одно должно быть больше другого. Теория порядка распространяет эту идею на множества в целом. Он включает такие понятия, как решетки и упорядоченные алгебраические структуры . См. Также глоссарий теории порядка и список тем по порядку .

• Общие алгебраические системы  дан: набор можно определить, различные способы объединения или в отношении членов этого набора. Если они подчиняются определенным правилам, то образуется определенная алгебраическая структура. Универсальная алгебра - это более формальное изучение этих структур и систем.

• Теория поля и многочлены: теория поля изучает свойства полей . Поле - это математическая сущность, для которой четко определены сложение, вычитание, умножение и деление . Полином - это выражение, в котором константы и переменные комбинируются с использованием только сложения, вычитания и умножения.

• Коммутативные кольца и алгебры  : в теории колец , ветви абстрактной алгебры, коммутативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения подчиняется закону коммутативности . Это означает, что если a и b - любые элементы кольца, то a × b  =  b × a . Коммутативная алгебра - это область изучения коммутативных колец и их идеалов , модулей и алгебр. Это основа как для алгебраической геометрии, так и для теории алгебраических чисел. Наиболее яркими примерами коммутативных колец являются кольца многочленов.

Комбинаторика [ править ]

Комбинаторика - это изучение конечных или дискретных наборов объектов, удовлетворяющих заданным критериям. В частности, он связан с «подсчетом» объектов в этих коллекциях ( перечислительная комбинаторика ) и с решением, существуют ли определенные «оптимальные» объекты ( экстремальная комбинаторика ). Он включает теорию графов , используемую для описания взаимосвязанных объектов (граф в этом смысле представляет собой сеть или набор связанных точек). См. Также список тем комбинаторики , список тем теории графов и глоссарий теории графов . Комбинаторной ароматизатор присутствует во многих частях решения проблем .

Геометрия [ править ]

Геометрия занимается пространственными отношениями, используя фундаментальные качества или аксиомы . Такие аксиомы можно использовать в сочетании с математическими определениями точек , прямых линий , кривых , поверхностей и твердых тел, чтобы делать логические выводы. См. Также Список тем по геометрии .

• Выпуклая геометрия : включает изучение таких объектов, как многогранники и многогранники . См. Также Список тем о выпуклости .

• Дискретная геометрия и комбинаторная геометрия : изучение геометрических объектов и свойств, которые являются дискретными или комбинаторными , либо по своей природе, либо по их представлению. Он включает в себя изучение форм, таких как Платоновы тела, и понятие мозаики .

• Дифференциальная геометрия : изучение геометрии с помощью математического анализа. Это очень тесно связано с дифференциальной топологией . Охватывает такие области, как риманова геометрия , кривизна и дифференциальная геометрия кривых . См. Также глоссарий дифференциальной геометрии и топологии .

• Алгебраическая геометрия : задан полином от двух вещественных переменных , точки на плоскости, где эта функция равна нулю, образуют кривую. Алгебраические кривые расширяет это понятие для полиномов над полем в заданном числе переменных. Алгебраическая геометрия может рассматриваться как изучение этих кривых. См. Также список тем по алгебраической геометрии и список алгебраических поверхностей .
  • Реальная алгебраическая геометрия : изучение полуалгебраических множеств , т. Е. Вещественных решений алгебраических неравенств с действительными числовыми коэффициентами и отображений между ними.

• Арифметика Геометрия : Изучение схем конечного типа над спектром в кольце целых чисел . Альтернативно определяется как применение методов алгебраической геометрии к проблемам теории чисел .

• Диофантова геометрия : изучение точек алгебраических многообразий с координатами в полях , которые не являются алгебраически замкнутыми и встречаются в теории алгебраических чисел , таких как поле рациональных чисел , числовые поля , конечные поля , функциональные поля и p -адические поля , но не считая реальных чисел .

Топология [ править ]

Имеет дело со свойствами фигуры, которые не изменяются при постоянной деформации фигуры. Основные области - это точечная топология (или общая топология ), алгебраическая топология и топология многообразий , определенные ниже.

• Общая топология : Также называется топологией набора точек . Свойства топологических пространств . Включает такие понятия, как открытые и замкнутые множества , компактные пространства , непрерывные функции , сходимость , аксиомы разделения , метрические пространства , теория размерности . См. Также глоссарий по общей топологии и список тем по общей топологии .

• Алгебраическая топология : свойства алгебраических объектов, связанных с топологическим пространством, и то, как эти алгебраические объекты отражают свойства таких пространств. (Некоторые из этих алгебраических объектов являются примерами функторов .) Содержит такие области , как теория гомологии , теории когомологий , гомотопической и гомологической алгебры . Гомотопия имеет дело с гомотопическими группами (включая фундаментальную группу ), а также с симплициальными комплексами и комплексами CW (также называемыми клеточными комплексами ). См. Также список тем по алгебраической топологии .

• Дифференциальная топология : Поле решения дифференцируемых функций на дифференцируемых многообразиях , которые можно рассматривать как п : размерной обобщения поверхности в обычном 3-мерном евклидовом пространстве .

Математический анализ [ править ]

В мире математики анализ - это отрасль, которая фокусируется на изменениях: темпах изменений , накопленных изменениях и множестве вещей, изменяющихся относительно (или независимо) друг от друга.

Современный анализ - это обширная и быстро развивающаяся отрасль математики, которая затрагивает почти все остальные подразделения дисциплины, находя прямое и косвенное применение в таких разнообразных темах, как теория чисел , криптография и абстрактная алгебра . Это также язык самой науки, который используется в химии , биологии и физике , от астрофизики до рентгеновской кристаллографии .

Прикладная математика [ править ]

Вероятность и статистика [ править ]

• Теория вероятностей : математическая теория случайных явлений. Теория вероятностей изучает случайные величины и события , которые представляют собой математические абстракции недетерминированных событий или измеренных величин. См. Также Категория: теория вероятностей и список вопросов вероятности .
  • Стохастические процессы : расширение теории вероятностей, изучающее совокупности случайных величин, таких как временные ряды или пространственные процессы . См. Также разделы Список случайных процессов и Категория: Стохастические процессы .
• Статистика : наука об эффективном использовании числовых данных экспериментов или популяций людей. Статистика включает не только сбор, анализ и интерпретацию таких данных, но и планирование сбора данных с точки зрения разработки опросов и экспериментов . См. Также список статистических тем .

Вычислительные науки [ править ]

• Численный анализ : многие проблемы математики в целом не могут быть решены точно. Численный анализ - это исследование итерационных методов и алгоритмов для приближенного решения проблем с заданной границей погрешности. Включает численное дифференцирование , численное интегрирование и численные методы ; cf научные вычисления . См. Также Список тем численного анализа .

• Компьютерная алгебра : эта область также называется символьными вычислениями или алгебраическими вычислениями . Он имеет дело с точными вычислениями, например, с целыми числами произвольного размера, многочленами или элементами конечных полей. Он также включает вычисления с нечисловыми математическими объектами, такими как полиномиальные идеалы или ряды.

Математическая физика [ править ]

• Классическая механика : обращается и описывает движение макроскопических объектов, от снарядов до частей оборудования, а также астрономических объектов, таких как космические корабли, планеты, звезды и галактики.

• Механика конструкций : Механика конструкций - это область исследований в рамках прикладной механики, которая исследует поведение конструкций при механических нагрузках, таких как изгиб балки, изгиб колонны, кручение вала, прогиб тонкой оболочки и вибрация. моста.

• Механика деформируемого твердого тела : большинство реальных объектов не являются точечными или совершенно твердыми. Что еще более важно, объекты меняют форму под воздействием сил. Этот предмет очень сильно перекликается с механикой сплошной среды , которая занимается сплошной материей. В нем рассматриваются такие понятия, как напряжение , деформация и эластичность .

• Механика жидкостей : жидкости в этом смысле включают не только жидкости , но и текущие газы и даже твердые тела в определенных ситуациях. (Например, сухой песок может вести себя как жидкость). Он включает такие понятия, как вязкость , турбулентный поток и ламинарный поток (его противоположность).

• Механика элементарных частиц : в математике частица представляет собой точечный, совершенно твердый твердый объект. Механика элементарных частиц имеет дело с результатами воздействия на частицы сил. Он включает в себя небесную механику - изучение движения небесных объектов.

Другая прикладная математика [ править ]

• Исследование операций (OR): также известное как операционное исследование, OR предоставляет оптимальные или почти оптимальные решения сложных проблем. OR использует математическое моделирование , статистический анализ и математическую оптимизацию .

• Математическое программирование : математическое программирование (или математическая оптимизация) минимизирует (или максимизирует) функцию с действительными значениями в области, которая часто определяется ограничениями на переменные. Математическое программирование изучает эти проблемы и разрабатывает итерационные методы и алгоритмы их решения.

См. Также [ править ]

• Классификация предметов математики
• Глоссарий по разделам математики
• Очерк математики

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Отделения математики [из веб-архива; Последнее изменение 25.01.2006]