Равнораспределенная последовательность

В математике , А последовательность ( ев ₁ , ев ₂ , ев ₃ , ...) из действительных чисел называется равнораспределен или равномерно распределены , если доля терминов , входящих в подпериода, пропорциональна длине этого подпериода. Такие последовательности изучаются в теории диофантовых приближений и имеют приложения к интегрированию Монте-Карло .

Определение [ править ]

Последовательность ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) действительных чисел называется равнораспределенной на невырожденном интервале [ a , b ], если для любого подинтервала [ c , d ] из [ a , b ] у нас есть

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\, s_ {1}, \ dots, s_ {n} \, \} \ cap [c, d] \ right | \ over n} = {dc \ over ba}.}

(Здесь обозначение | { s ₁ , ..., s _n } ∩ [ c , d ] | обозначает количество элементов из первых n элементов последовательности, которые находятся между c и d .)

Например, если последовательность равнораспределена в [0, 2], поскольку интервал [0,5, 0,9] занимает 1/5 длины интервала [0, 2], когда n становится большим, доля первых n члены последовательности, которые попадают между 0,5 и 0,9, должны приближаться к 1/5. Грубо говоря, можно сказать, что каждый член последовательности с одинаковой вероятностью попадет в любую точку своего диапазона. Однако это не означает, что ( s _n ) является последовательностью случайных величин ; скорее, это определенная последовательность действительных чисел.

Несоответствие [ править ]

Определим невязку D _N для последовательности ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) относительно интервала [ a , b ] как

D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .

Таким образом, последовательность является равнораспределенной, если невязка D _N стремится к нулю, когда N стремится к бесконечности.

Равнораспределение - довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент без пропусков. Например, рисунки случайной величины, однородной по сегменту, будут равномерно распределены в сегменте, но будут большие промежутки по сравнению с последовательностью, которая сначала перечисляет кратные ε в сегменте для некоторого малого ε соответствующим образом выбранным способом. , а затем продолжает делать это для все меньших и меньших значений ε. Для более строгих критериев и построения последовательностей, которые распределены более равномерно, см. Последовательность с низким расхождением .

Интегральный критерий Римана для равнораспределения [ править ]

Напомним, что если f - функция, имеющая интеграл Римана в интервале [ a , b ], то ее интеграл является пределом сумм Римана, взятых путем выборки функции f в наборе точек, выбранных из точного разбиения интервала. Следовательно, если некоторая последовательность равнораспределена в [ a , b ], ожидается, что эту последовательность можно использовать для вычисления интеграла от интегрируемой по Риману функции. Это приводит к следующему критерию ^[1] для равнораспределенной последовательности:

Предположим, что ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) - последовательность, содержащаяся в интервале [ a , b ]. Тогда следующие условия эквивалентны:

Последовательность равнораспределена на [ a , b ].
Для любой интегрируемой по Риману ( комплекснозначной ) функции f : [ a , b ] → ℂ имеет место следующий предел:

\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Доказательство

Сначала обратите внимание, что определение равнораспределенной последовательности эквивалентно интегральному критерию, когда f является индикаторной функцией интервала: если f = 1 _{[ c , d ]} , то левая часть представляет собой долю точек последовательности, попадающих в интервал [ c , d ], а правая часть в точности равна

\textstyle {\frac {d-c}{b-a}}.

Это означает 2 ⇒ 1 (поскольку индикаторные функции интегрируемы по Риману) и 1 ⇒ 2, если f является индикаторной функцией интервала. Осталось предположить, что интегральный критерий выполняется для индикаторных функций, и доказать, что он верен и для общих функций, интегрируемых по Риману.

Обратите внимание, что обе части интегрального критериального уравнения линейны по f , и поэтому критерий выполняется для линейных комбинаций интервальных показателей, то есть ступенчатых функций .

Чтобы показать, что это справедливо для функции f , интегрируемой по Риману, сначала предположим, что f вещественнозначна. Затем, используя определение интеграла Дарбу , мы имеем для каждого ε> 0 две ступенчатые функции f ₁ и f ₂ такие, что f ₁ ≤ f ≤ f _2, и обратите внимание, что: $\textstyle \int _{a}^{b}(f_{2}(x)-f_{1}(x))\,dx\leq \varepsilon (b-a).$

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{1}(s_{n})\leq \liminf _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{2}(s_{n})\geq \limsup _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})

Вычитание, мы видим , что предел выше и нижний предел от отличается не более чем на е. Поскольку ε произвольно, мы имеем существование предела и, согласно определению интеграла Дарбу, это правильный предел. $\textstyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})$

Наконец, для комплекснозначных функций, интегрируемых по Риману, результат снова следует из линейности и из того факта, что каждая такая функция может быть записана как f = u + vi , где u , v действительнозначны и интегрируемы по Риману. ∎

Этот критерий приводит к идее интегрирования Монте-Карло , где интегралы вычисляются путем выборки функции по последовательности случайных величин, равнораспределенных в интервале.

Невозможно обобщить интегральный критерий на более широкий класс функций, чем просто интегрируемые по Риману. Например, если рассматривается интеграл Лебега и считается, что f принадлежит L ¹ , то этот критерий не выполняется. В качестве контрпримера возьмем f как индикаторную функцию некоторой равнораспределенной последовательности. Тогда в критерии левая часть всегда равна 1, тогда как правая часть равна нулю, потому что последовательность счетна , поэтому f равно нулю почти всюду .

Фактически, теорема де Брейна – Поста утверждает обратное приведенному выше критерию: если f - такая функция, что указанный выше критерий выполняется для любой равнораспределенной последовательности в [ a , b ], то f интегрируема по Риману в [ a , b ]. ^[2]

Равное распределение по модулю 1 [ править ]

Последовательность ( ₁ , ₂ , ₃ , ...) действительных чисел называется равнораспределен по модулю 1 или равномерно распределены по модулю 1 , если последовательность дробных частей в виде _п , обозначаемые ( в _п ) или путем a _n - ⌊ a _n ⌋, равнораспределена в интервале [0, 1].

Примеры [ править ]

Иллюстрация заполнения единичного интервала ( ось x ) с использованием первых n членов последовательности Ван дер Корпута для n от 0 до 999 ( ось y ). Градация цвета происходит из-за наложения спектров.

Теорема равнораспределения : последовательность всех кратных иррациональному α ,

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

равнораспределена по модулю 1. ^[3]

В более общем смысле, если p - многочлен с по крайней мере одним коэффициентом, отличным от постоянного члена иррационального, то последовательность p ( n ) равномерно распределена по модулю 1.

Это было доказано Вейлем и является приложением разностной теоремы Ван дер Корпута. ^[4]

Последовательность log ( n ) не распределена равномерно по модулю 1. ^[3] Этот факт связан с законом Бенфорда .
Последовательность всех кратных иррационального α последовательными простыми числами ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

равнораспределена по модулю 1. Это известная теорема аналитической теории чисел , опубликованная И. М. Виноградовым в 1948 г. ^[5]

Последовательность Ван дер Корпута равнораспределена. ^[6]

Критерий Вейля [ править ]

Критерий Вейля утверждает, что последовательность a _n равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех ненулевых целых чисел ℓ,

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.

Критерий назван в честь Германа Вейля и был впервые сформулирован им . ^[7] Это позволяет свести вопросы эквираспределения к оценкам экспоненциальных сумм , что является фундаментальным и общим методом.

Эскиз доказательства

Если последовательность равнораспределена по модулю 1, то мы можем применить интегральный критерий Римана (описанный выше) к функции, которая имеет нулевой интеграл на интервале [0, 1]. Это сразу дает критерий Вейля.

\textstyle f(x)=e^{2\pi i\ell x},

Наоборот, предположим, что критерий Вейля выполняется. Тогда интегральный критерий Римана выполняется для функций f, как указано выше, и в силу линейности критерия он выполняется для любого тригонометрического полинома f . По теореме Стоуна – Вейерштрасса и аргументам аппроксимации это распространяется на любую непрерывную функцию f .

Наконец, пусть f - индикаторная функция интервала. Можно ограничить f сверху и снизу двумя непрерывными на интервале функциями, интегралы которых отличаются на произвольное ε. С помощью рассуждений, аналогичных доказательству интегрального критерия Римана, можно распространить результат на любую интервальную индикаторную функцию f , тем самым доказав равнораспределение по модулю 1 данной последовательности. ∎

Обобщения [ править ]

Количественная форма критерия Вейля дается неравенством Эрдеша – Турана .
Критерий Вейля естественным образом распространяется на более высокие измерения , предполагая естественное обобщение определения равнораспределения по модулю 1:

Последовательность v _n векторов в R ^k равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для любого ненулевого вектора ℓ ∈ Z ^k ,

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.

Пример использования [ править ]

Критерий Вейля можно использовать, чтобы легко доказать теорему о равнораспределении , утверждающую, что последовательность кратных 0, α , 2 α , 3 α , ... некоторого действительного числа α равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда α иррационально. ^[3]

Предположим, что α иррационально, и обозначим нашу последовательность как a _j = jα (где j начинается с 0, чтобы позже упростить формулу). Пусть ℓ ≠ 0 целое число. Поскольку α иррационально, α никогда не может быть целым числом, поэтому никогда не может быть 1. Используя формулу для суммы конечного геометрического ряда , ${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$

\left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},

конечная оценка, не зависящая от n . Следовательно, после деления на n и стремления n к бесконечности левая часть стремится к нулю, и критерий Вейля удовлетворяется.

С другой стороны , обратите внимание , что если α является рациональным , то эта последовательность не равнораспределен по модулю 1, поскольку существует лишь конечное число вариантов для дробной части в _J = jα .

Полное равномерное распределение [ править ]

Последовательность действительных чисел называется k-равномерно распределенной по модулю 1, если не только последовательность дробных частей распределена равномерно, но также и последовательность , определенная как , равномерно распределена в . $(a_{1},a_{2},\dots )$ $a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]$ $[0,1]$ $(b_{1},b_{2},\dots )$ $b_{n}$ $b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}$ $[0,1]^{k}$

Говорят, что последовательность действительных чисел полностью равномерно распределена по модулю 1, она равномерно распределена для каждого натурального числа . $(a_{1},a_{2},\dots )$ $k$ $k\geq 1$

Например, последовательность является равномерно распределенной по модулю 1 (или равномерно распределенной единицей) для любого иррационального числа , но никогда не бывает даже 2-равномерно распределенной. Напротив, последовательность полностью равномерно распределена почти для всех (т. Е. Для всех, кроме набора меры 0). $(\alpha ,2\alpha ,\dots )$ $\alpha$ $(\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )$ $\alpha >1$ $\alpha$

Разностная теорема ван дер Корпута [ править ]

Теорема Йоханнеса ван дер Корпута ^[8] утверждает, что если для каждого h последовательность s _{n + h} - s _n равномерно распределена по модулю 1, то и s _{n также} . ^[9]^[10]^[11]

Множество ван дер Корпута - это множество H целых чисел, такое что если для каждого h в H последовательность s _{n + h} - s _n равномерно распределена по модулю 1, то s _{n тоже} . ^[10]^[11]

Метрические теоремы [ править ]

Метрические теоремы описывают поведение параметризованной последовательности для почти всех значений некоторого параметра α : то есть для значений α, не лежащих в некотором исключительном множестве нулевой меры Лебега .

Для любой последовательности различных целых чисел b _n последовательность ( b _n α ) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α . ^[12]
Последовательность ( α ⁿ ) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α > 1. ^[13]

Неизвестно, являются ли последовательности ( e ⁿ ) или ( $π$ ⁿ ) равнораспределенными по модулю 1. Однако известно, что последовательность ( α ⁿ ) не является равнораспределенной по модулю 1, если α является номером PV .

Хорошо распределенная последовательность [ править ]

Последовательность ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) действительных чисел называется хорошо распределенной на [ a , b ], если для любого подинтервала [ c , d ] из [ a , b ] мы имеем

\lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}

равномерно по k . Ясно, что каждая хорошо распределенная последовательность равномерно распределена, но обратное неверно. Определение хорошо распределенного по модулю 1 аналогично.

Последовательности, равнораспределенные по произвольной мере [ править ]

Для произвольного пространства с вероятностной мерой последовательность точек называется равнораспределенной относительно, если среднее значение точечных мер слабо сходится к : ^[14] $(X,\mu )$ $(x_{n})$ $\mu$ $\mu$

{\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .

В любой борелевской вероятностной мере на сепарабельном , метризуемом пространстве, существует равнораспределена последовательность с относительно меры; действительно, это сразу следует из того факта, что такое пространство стандартно .

Общее явление равнораспределения часто возникает для динамических систем, связанных с группами Ли , например, в решении Маргулиса гипотезы Оппенгейма .

См. Также [ править ]

Теорема о равнораспределении
Последовательность с низким расхождением
Неравенство Эрдеша – Турана

Заметки [ править ]

^ Кейперс и Нидеррейтер (2006)стр. 2-3
^ http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf , Теорема 8
^ a b c Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 8
^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 27
^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 129
^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 127
Перейти ↑ Weyl, H. (сентябрь 1916 г.). "Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [О распределении чисел по модулю один] (PDF) . Математика. Аня. (на немецком). 77 (3): 313–352. DOI : 10.1007 / BF01475864 .
^ Ван дер Корпута, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen I. Цур Gleichverteilung Modulo Eins.", Acta Mathematica , Springer Нидерланды, 56 : 373-456, DOI : 10.1007 / BF02545780 , ISSN 0001-5962 , СУЛ 57.0230.05 , Zbl 0001.20102
^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 26 год
^ a b Монтгомери (1994) стр.18
^ a b Монтгомери, Хью Л. (2001). «Гармонический анализ в аналитической теории чисел» (PDF) . В Бирнсе, Джеймс С. (ред.). Гармонический анализ ХХ века - праздник. Труды Института перспективных исследований НАТО, Il Ciocco, Италия, июль 2-15, 2000 . НАТО Sci. Сер. II, Матем. Phys. Chem. 33 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С. 271–293. DOI : 10.1007 / 978-94-010-0662-0_13 . ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl 1001.11001 .
↑ См. Бернштейн, Феликс (1911), «Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem» , Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi : 10.1007 / BF01456856.
^ Коксма, И. Ф. (1935), "Эйн mengentheoretischer Затц über умереть Gleichverteilung по модулю Eins" , Compositio Mathematica , 2 : 250-258, СУЛ 61.0205.01 , Zbl +0012,01401
^ Кейперс и Нидеррейтер (2006) стр.171

Ссылки [ править ]

Kuipers, L .; Нидеррайтер, Х. (2006) [1974]. Равномерное распределение последовательностей . Dover Publications. ISBN 0-486-45019-8.
Kuipers, L .; Нидеррайтер, Х. (1974). Равномерное распределение последовательностей . ISBN компании John Wiley & Sons Inc. 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001 .
Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Гранвиль, Эндрю; Рудник, Зеев, ред. (2007). Равное распределение в теории чисел, введение. Труды Института перспективных исследований НАТО по равнораспределенности в теории чисел, Монреаль, Канада, июль 11-22, 2005 . Наука НАТО II: математика, физика и химия. 237 . Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1121.11004 .
Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка . Аспирантура по математике . 142 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl 1277.11010 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Равнораспределенная последовательность» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Вейля» . MathWorld .
Критерий Вейля в PlanetMath .
Конспект лекций с доказательством критерия Вейля

[1] Кейперс и Нидеррейтер (2006)стр. 2-3

[2] ttp://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf , Теорема 8

[KN8-3] Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 8

[KN27-4] Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 27

[KN129-5] Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 129

[KN127-6] Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 127

[7] Перейти ↑ Weyl, H. (сентябрь 1916 г.). "Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [О распределении чисел по модулю один] (PDF) . Математика. Аня. (на немецком). 77 (3): 313–352. DOI : 10.1007 / BF01475864 .

[8] Ван дер Корпута, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen I. Цур Gleichverteilung Modulo Eins.", Acta Mathematica , Springer Нидерланды, 56 : 373-456, DOI : 10.1007 / BF02545780 , ISSN 0001-5962 , СУЛ 57.0230.05 , Zbl 0001.20102

[9] Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 26 год

[Mon18-10] Монтгомери (1994) стр.18

[Mon2001-11] Монтгомери, Хью Л. (2001). «Гармонический анализ в аналитической теории чисел» (PDF) . В Бирнсе, Джеймс С. (ред.). Гармонический анализ ХХ века - праздник. Труды Института перспективных исследований НАТО, Il Ciocco, Италия, июль 2-15, 2000 . НАТО Sci. Сер. II, Матем. Phys. Chem. 33 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С. 271–293. DOI : 10.1007 / 978-94-010-0662-0_13 . ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl 1001.11001 .

[12] См. Бернштейн, Феликс (1911), «Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem» , Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi : 10.1007 / BF01456856.

[13] Коксма, И. Ф. (1935), "Эйн mengentheoretischer Затц über умереть Gleichverteilung по модулю Eins" , Compositio Mathematica , 2 : 250-258, СУЛ 61.0205.01 , Zbl +0012,01401

[KN171-14] Кейперс и Нидеррейтер (2006) стр.171

[1]