В математике L -функция является мероморфна функцией на комплексной плоскости , связанная с одной из нескольких категорий математических объектов . An L -ряды представляет собой ряд Дирихле , как правило , сходится на полуплоскости , что может привести к появлению L -функции с помощью аналитического продолжения . Дзета - функция Римана является примером L -функции, и одна важная гипотеза с участием L -функции является гипотеза Римана и ееобобщение .
Теория L- функций стала очень существенной и все еще в значительной степени гипотетической частью современной аналитической теории чисел . В нем построены широкие обобщения дзета-функции Римана и L- ряда для характера Дирихле , и их общие свойства, в большинстве случаев все еще недоступные для доказательства, систематически изложены. Благодаря формуле произведения Эйлера существует глубокая связь между L- функциями и теорией простых чисел .
Строительство [ править ]
Мы различаем в самом начале между L -рядов , бесконечная серия представление (например, ряд Дирихле для дзета - функции Римана ), и L-функция , функция в комплексной плоскости , которая является его аналитическим продолжением . Общие конструкции начинаются с L- ряда, определенного сначала как ряд Дирихле , а затем путем расширения как произведение Эйлера.индексируется простыми числами. Оценки необходимы, чтобы доказать, что это сходится в некоторой правой полуплоскости комплексных чисел. Затем задается вопрос, может ли определенная таким образом функция быть аналитически продолжена на остальную часть комплексной плоскости (возможно, с некоторыми полюсами ).
Именно это (предположительное) мероморфное продолжение на комплексную плоскость и называется L -функцией. В классических случаях уже известно, что полезная информация содержится в значениях и поведении L- функции в точках, где представление ряда не сходится. Общий термин L -функция здесь включает многие известные типы дзета-функций. Класс Сельберга - это попытка уловить основные свойства L- функций в наборе аксиом, тем самым поощряя изучение свойств класса, а не отдельных функций.
Предполагаемая информация [ править ]
Можно перечислить характеристики известных примеров L- функций, которые хотелось бы видеть в обобщенном виде:
- расположение нулей и полюсов;
- функциональное уравнение относительно некоторой вертикальной прямой Re ( s ) = константа;
- интересные значения в целых числах, связанных с величинами из алгебраической K -теории .
Подробная работа породила большое количество правдоподобных предположений, например, о точном типе функционального уравнения, которое должно применяться. Поскольку дзета-функция Римана через свои значения в положительных четных целых числах (и отрицательных нечетных целых числах) соединяется с числами Бернулли , нужно искать подходящее обобщение этого явления. В этом случае были получены результаты для p -адических L- функций , описывающих некоторые модули Галуа .
Статистика нулевых распределений представляет интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. Д. Интересны также связи с теорией случайных матриц и квантовым хаосом . Фрактальная структура распределений была изучена с помощью масштабированного анализа диапазонов . [2] самоподобность нулевого распределения является весьма примечательной, и характеризуется большой фрактальной размерностью 1,9. Эта довольно большая фрактальная размерность находится над нулями, охватывающими не менее пятнадцати порядков величины дзета-функции Римана., а также для нулей других L- функций разных порядков и проводников.
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера [ править ]
Одним из влиятельных примеров как в истории более общих L- функций, так и в качестве все еще открытой исследовательской проблемы является гипотеза, разработанная Брайаном Берчем и Питером Суиннертоном-Дайером в начале 1960-х годов. Он применяется к эллиптической кривой E , и проблема, которую он пытается решить, - это предсказание ранга эллиптической кривой по рациональным числам (или другому глобальному полю ): то есть числа свободных образующих ее группы рациональных точек. Многие предыдущие работы в этой области начали объединяться вокруг лучшего знания L- функций. Это было что-то вроде парадигмального примера зарождающейся теории L- функций.
Возникновение общей теории [ править ]
Такое развитие события предшествовали программу Ленглендса на несколько лет, и может рассматриваться в качестве дополнения к ней: работа Ленглендса относится в основном к Артиновым L -функции , которые, как Гекк L -функция , были определены несколько десятилетий назад, и L -функция прикреплены к общим автоморфным представлениям .
Постепенно стало яснее, в каком смысле можно заставить конструкцию дзета-функций Хассе – Вейля работать, чтобы обеспечить правильные L- функции в аналитическом смысле: должен быть некоторый ввод от анализа, что означало автоморфный анализ. Общий случай теперь объединяет на концептуальном уровне ряд различных исследовательских программ.
См. Также [ править ]
- Обобщенная гипотеза Римана
- L- функция Дирихле
- Автоморфная L- функция
- Теорема модульности
- Гипотеза Артина
- Специальные значения L-функций
- Симидзу L -функция
Ссылки [ править ]
- ^ Steuding, Йорн (июнь 2005). «Введение в теорию L- функций» . Препринт .
- ^ О. Шэнкер (2006). «Случайные матрицы, обобщенные дзета-функции и самоподобие нулевых распределений» . J. Phys. A: Математика. Gen . 39 (45): 13983–13997. Bibcode : 2006JPhA ... 3913983S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 39/45/008 .
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Внешние ссылки [ править ]
- «LMFDB, база данных L-функций, модульных форм и связанных объектов» .
- Лаврик, AF (2001) [1994], "L-функция" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Статьи о прорыве в трансцендентной L-функции третьей степени
- «Взгляд в новый (математический) мир» . Математика. Physorg.com . Американский институт математики. 13 марта 2008 г.
- Рехмейер, Джули (2 апреля 2008 г.). «Подкрадываясь к Риману» . Новости науки .
- «Охота на неуловимую L-функцию» . Математика. Physorg.com . Бристольский университет. 6 августа 2008 г.
