Сохраняющая меру динамическая система

В математике , А сохраняющее меру динамическая система является объектом исследования в абстрактной формулировке динамических систем и эргодической теории , в частности. Сохраняющие меру системы подчиняются теореме Пуанкаре о возвращении и являются частным случаем консервативных систем . Они обеспечивают формальную математическую основу для широкого круга физических систем и, в частности, многих систем из классической механики (в частности, большинства недиссипативных систем), а также систем, находящихся в термодинамическом равновесии .

Определение

Сохраняющая меру динамическая система определяется как вероятностное пространство и сохраняющее меру преобразование на нем. Более подробно это система

{\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}

со следующей структурой:

${\ displaystyle X}$ это набор,
${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ является σ-алгеброй над ${\ displaystyle X}$ ,
${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {B}} \ rightarrow [0,1]}$ является вероятностной мерой , так что ${\ Displaystyle \ му (Х) = 1}$ , и ${\ Displaystyle \ му (\ varnothing) = 0}$ ,
${\ displaystyle T: X \ rightarrow X}$ является измеримым преобразованием , которое сохраняет меру ${\ displaystyle \ mu}$ , т.е. ${\ Displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {B}} \; \; \ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A)}$ .

Обсуждение

Возникает вопрос, почему преобразование, сохраняющее меру, определяется в терминах обратного ${\ Displaystyle \ му (Т ^ {- 1} (А)) = \ му (А)}$ вместо прямого преобразования ${\ Displaystyle \ му (Т (А)) = \ му (А)}$ . Это можно понять довольно легко. Рассмотрим отображение ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ из множеств мощности :

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}}: от P (X) \ до P (X)}

Рассмотрим теперь частный случай отображений ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ которые сохраняют пересечения, объединения и дополнения (так что это отображение борелевских множеств ), а также посылает ${\ displaystyle X}$ к ${\ displaystyle X}$ (потому что мы хотим, чтобы он был консервативным ). Каждое такое консервативное, сохраняющее Бореля отображение может быть определено некоторым сюръективным отображением ${\ displaystyle T: X \ to X}$ письменно ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (А) = Т ^ {- 1} (А)}$ . Конечно, можно также определить ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (А) = Т (А)}$ , но этого недостаточно, чтобы указать все такие возможные карты ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ . То есть консервативные, сохраняющие Бореля карты ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ вообще не может быть записано в форме ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T (A).}$ Очевидно! можно сказать; рассмотрим, например, карту единичного интервала ${\ Displaystyle T: [0,1) \ к [0,1)}$ дано ${\ Displaystyle х \ mapsto 2x \ mod 1;}$ это отображение Бернулли .

Обратите внимание, что ${\ Displaystyle \ му (Т ^ {- 1} (А))}$ имеет форму нападающего , тогда как ${\ Displaystyle \ му (Т (А))}$ обычно называется откатом . Почти все свойства и поведение динамических систем определены в терминах продвижения вперед. Например, оператор переноса определяется с точки зрения продвижения карты преобразования. ${\ displaystyle T}$ ; мера ${\ displaystyle \ mu}$ теперь можно понимать как инвариантную меру ; это просто собственный вектор Фробениуса – Перрона передаточного оператора (напомним, что собственный вектор FP - это наибольший собственный вектор матрицы; в этом случае это собственный вектор, который имеет собственное значение: инвариантная мера).

Интересны две проблемы классификации. Один, обсуждаемый ниже, исправляет ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$ и спрашивает о классах изоморфизма преобразования преобразования ${\ displaystyle T}$ . Другой, обсуждаемый оператором передачи , исправляет ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}})}$ и ${\ displaystyle T}$ , и спрашивает о картах ${\ displaystyle \ mu}$ которые подобны мере. Подобны мере, в том, что они сохраняют борелевские свойства, но больше не являются инвариантными; они, как правило, диссипативны и, таким образом, дают представление о диссипативных системах и пути к равновесию.

С точки зрения физики, сохраняющая меру динамическая система ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$ часто описывает физическую систему, которая находится в равновесии, например, термодинамическое равновесие . Кто-то может спросить: как это случилось? Часто ответ заключается в перемешивании, перемешивании , турбулентности , термализации или других подобных процессах. Если карта трансформации ${\ displaystyle T}$ описывает это перемешивание, перемешивание и т. д., то система ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$ это все, что осталось после того, как все переходные режимы исчезли. Переходные режимы - это как раз те собственные векторы передаточного оператора, у которых собственное значение меньше единицы; инвариантная мера ${\ displaystyle \ mu}$ это единственная мода, которая не исчезает. Скорость затухания переходных режимов определяется (логарифмом) их собственными значениями; собственное значение соответствует бесконечному периоду полураспада.

Неформальный пример

Микроканоническое ансамбль из физики представляет собой неофициальный пример. Рассмотрим, например, жидкость, газ или плазму в коробке шириной, длиной и высотой. ${\ displaystyle w \ times l \ times h,}$ состоящий из ${\ displaystyle N}$ атомы. Одиночный атом в этом ящике может быть где угодно и иметь произвольную скорость; он будет представлен одной точкой в ${\ displaystyle w \ times l \ times h \ times \ mathbb {R} ^ {3}.}$ Данная коллекция ${\ displaystyle N}$ тогда атомы были бы единственной точкой где-нибудь в пространстве. ${\ displaystyle (w \ times l \ times h) ^ {N} \ times \ mathbb {R} ^ {3N}.}$ «Ансамбль» - это совокупность всех таких точек, то есть совокупность всех таких возможных ящиков (которых несчетно-бесконечное число). Этот ансамбль всевозможных коробок - это пространство ${\ displaystyle X}$ выше.

В случае идеального газа мера ${\ displaystyle \ mu}$ дается распределением Максвелла – Больцмана . Это мера продукта в том смысле , что если ${\ displaystyle p_ {i} (x, y, z, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) \, d ^ {3} x \, d ^ {3} p}$ это вероятность атома ${\ displaystyle i}$ имея положение и скорость ${\ displaystyle x, y, z, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$ , то для ${\ displaystyle N}$ атомов, вероятность является произведением ${\ displaystyle N}$ из этих. Считается, что эта мера применяется к ансамблю. Так, например, в одном из возможных ящиков ансамбля все атомы находятся на одной стороне ящика. Вероятность этого можно вычислить в мере Максвелла – Больцмана. Он будет невероятно крошечным, по порядку ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (2 ^ {- 3N} \ right).}$ Из всех возможных коробок в ансамбле это смехотворно малая доля.

Единственная причина, по которой это «неформальный пример», заключается в том, что запись функции перехода ${\ displaystyle T}$ сложна, и, даже если она записана, с ней трудно проводить практические вычисления. Трудности усугубляются, если взаимодействие не является взаимодействием типа бильярдного шара идеального газа, а является взаимодействием Ван-дер-Ваальса или каким-либо другим взаимодействием, подходящим для жидкости или плазмы; в таких случаях инвариантная мера больше не является распределением Максвелла – Больцмана. Искусство физики находит разумные приближения.

Эта система действительно демонстрирует одну ключевую идею из классификации динамических систем, сохраняющих меру: два ансамбля, имеющие разные температуры, не эквивалентны. Энтропия для данного канонического ансамбля зависит от его температуры; Что касается физических систем, то «очевидно», что, когда различаются температуры, различаются и системы. В общем случае это верно: системы с разной энтропией не изоморфны.

Примеры

Пример сохраняющего ( меру Лебега ) отображения: T : [0,1) → [0,1),

{\ Displaystyle х \ mapsto 2x \ mod 1.}

В отличие от неформального примера, приведенного выше, приведенные ниже примеры достаточно четко определены и понятны, чтобы можно было выполнять явные формальные вычисления.

μ может быть нормированной угловой мерой dθ / 2π на единичной окружности , а T - вращением. См. Теорему о равнораспределении ;
схема Бернулли ;
интервал преобразования обмена ;
с определением подходящей меры - поддвиг конечного типа ;
базовой поток из случайной динамической системы ;
поток гамильтонова векторного поля на касательном расслоении замкнутого связного гладкого многообразия сохраняет меру (с использованием меры, индуцированной на борелевских множествах симплектической формой объема ) по теореме Лиувилля (гамильтониан) ; ^[1]
для некоторых карт и процессов Маркова , то Крылова-Боголюбова теорема устанавливает существование подходящей меры для формирования сохраняющего меру динамической системы.

Обобщение на группы и моноиды

Определение динамической системы, сохраняющей меру, может быть обобщено на случай, когда T не является единичным преобразованием, которое повторяется для получения динамики системы, а вместо этого является моноидом (или даже группой , и в этом случае мы имеем действие группы на заданном вероятностном пространстве) преобразований Т _с : Х → Х параметризованных ев ∈ Z (или R , или N ∪ {0}, или [, + ∞)), где каждое преобразование 0 T _сек удовлетворяет те же требования, что и Т выше. ^[1] В частности, преобразования подчиняются правилам:

${\ displaystyle T_ {0} = \ mathrm {id} _ {X}: X \ rightarrow X}$ , тождественная функция на X ;
${\ Displaystyle T_ {s} \ circ T_ {t} = T_ {t + s}}$ , когда все термины четко определены ;
${\ displaystyle T_ {s} ^ {- 1} = T _ {- s}}$ , когда все термины четко определены.

Ранее, более простой случай вписывается в эти рамки, определяя T _s = T ^s для S ∈ N .

Гомоморфизмы

Можно определить понятия гомоморфизма и изоморфизма .

Рассмотрим две динамические системы ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$ и ${\ Displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu, S)}$ . Тогда отображение

{\ displaystyle \ varphi: X \ to Y}

является гомоморфизмом динамических систем, если он удовлетворяет следующим трем свойствам:

Карта ${\ displaystyle \ varphi \}$ является измеримой .
Для каждого ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$ , надо ${\ Displaystyle \ му (\ varphi ^ {- 1} B) = \ nu (B)}$ .
Для μ {\ displaystyle \ mu} -почти все ${\ displaystyle x \ in X}$ , надо ${\ Displaystyle \ varphi (Tx) = S (\ varphi x)}$ .

Система ${\ Displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu, S)}$ Затем называется фактором из ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$ .

Карта ${\ Displaystyle \ varphi \;}$ является изоморфизмом динамических систем, если, кроме того, существует другое отображение

{\ displaystyle \ psi: Y \ to X}

это также гомоморфизм, удовлетворяющий

для ${\ displaystyle \ mu}$ -почти все ${\ displaystyle x \ in X}$ , надо ${\ Displaystyle х = \ psi (\ varphi x)}$ ;
для ${\ displaystyle \ nu}$ -почти все ${\ displaystyle y \ in Y}$ , надо ${\ displaystyle y = \ varphi (\ psi y)}$ .

Следовательно, можно сформировать категорию динамических систем и их гомоморфизмов.

Общие точки

Точка x ∈ X называется точкой общего положения, если орбита точки распределена равномерно по мере.

Символические имена и генераторы

Рассмотрим динамическую систему ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$ , И пусть Q = { Q ₁ , ..., Q _к } быть разбиение из X в K измеримых попарно непересекающихся частей. Для точки x ∈ X ясно, что x принадлежит только одному из Q _i . Точно так же итерированная точка T ⁿ x также может принадлежать только одной из частей. Символическое имя из х , с относительно разбиения Q , представляет собой последовательность целых чисел { _п }, что

{\ displaystyle T ^ {n} x \ in Q_ {a_ {n}}.}

Набор символических имен по отношению к разбиению называется символической динамикой динамической системы. Разбиение Q называется порождающим или порождающим, если μ-почти каждая точка x имеет уникальное символическое имя.

Операции над разделами

Для разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и динамической системы ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$ , определим T -отягивание Q как

{\ displaystyle T ^ {- 1} Q = \ {T ^ {- 1} Q_ {1}, \ ldots, T ^ {- 1} Q_ {k} \}.}

Далее, учитывая два разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и R = { R ₁ , ..., R _m }, определим их уточнение как

{\ displaystyle Q \ vee R = \ {Q_ {i} \ cap R_ {j} \ mid i = 1, \ ldots, k, \ j = 1, \ ldots, m, \ \ mu (Q_ {i} \ cap R_ {j})> 0 \}.}

С этими двумя конструкциями уточнение повторного отката определяется как

{\ displaystyle {\ begin {align} \ bigvee _ {n = 0} ^ {N} T ^ {- n} Q & = \ {Q_ {i_ {0}} \ cap T ^ {- 1} Q_ {i_ { 1}} \ cap \ cdots \ cap T ^ {- N} Q_ {i_ {N}} \\ & {} \ qquad {\ mbox {where}} i _ {\ ell} = 1, \ ldots, k, \ \ ell = 0, \ ldots, N, \ \\ & {} \ qquad \ qquad \ mu \ left (Q_ {i_ {0}} \ cap T ^ {- 1} Q_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap T ^ {- N} Q_ {i_ {N}} \ right)> 0 \} \\\ конец {выровнено}}}

который играет решающую роль в построении теоретико-меры энтропии динамической системы.

Теоретико-мерная энтропия

Энтропия разбиения ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$ определяется как ^[2]^[3]

{\ Displaystyle H ({\ mathcal {Q}}) = - \ sum _ {Q \ in {\ mathcal {Q}}} \ mu (Q) \ log \ mu (Q).}

Теоретико-мерная энтропия динамической системы ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$ относительно разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } определяется как

{\ displaystyle h _ {\ mu} (T, {\ mathcal {Q}}) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {N}} H \ left (\ bigvee _ {n = 0} ^ {N} T ^ {- n} {\ mathcal {Q}} \ right).}

Наконец, метрика Колмогорова – Синая или теоретико-мерная энтропия динамической системы ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$ определяется как

{\ displaystyle h _ {\ mu} (T) = \ sup _ {Q} h _ {\ mu} (T, Q).}

где супремум берется по всем конечным измеримым разбиениям. Теорема Якова Синая в 1959 году показывает, что супремум фактически получается на разбиениях, являющихся образующими. Так, например, энтропия процесса Бернулли равна log 2, поскольку почти каждое действительное число имеет уникальное двоичное расширение . То есть можно разделить единичный интервал на интервалы [0, 1/2) и [1/2, 1]. Каждое действительное число x либо меньше 1/2, либо нет; и то же самое относится к дробной части 2 ⁿ x .

Если пространство X компактно и наделено топологией или является метрическим пространством, то топологическая энтропия также может быть определена.

Классификационные и антиклассификационные теоремы

Одним из основных направлений исследования систем, сохраняющих меру, является их классификация в соответствии с их свойствами. То есть пусть ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$ - пространство меры, и пусть ${\ displaystyle U}$ - множество всех систем, сохраняющих меру ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$ . Изоморфизм ${\ Displaystyle S \ sim T}$ двух преобразований ${\ displaystyle S, T}$ определяет отношение эквивалентности ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ subset U \ times U.}$ Затем цель состоит в том, чтобы описать отношение ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ . Получен ряд классификационных теорем; но, что довольно интересно, также был обнаружен ряд антиклассификационных теорем. Антиклассификационные теоремы утверждают, что существует более чем счетное число классов изоморфизмов и что счетного количества информации недостаточно для классификации изоморфизмов. ^[4]^[5]

Первая антиклассификационная теорема Хьорта утверждает, что если ${\ displaystyle U}$ наделен слабой топологией , то множество ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ не является борелевским множеством . ^[6] Есть множество других антиклассификационных результатов. Например, заменяя изоморфизм эквивалентностью Какутани , можно показать, что существует несчетное количество не-Какутани эквивалентных эргодических сохраняющих меру преобразований каждого энтропийного типа. ^[7]

Они противоречат классификационным теоремам. К ним относятся:

Классифицированы эргодические преобразования с чистым точечным спектром, сохраняющие меру. ^[8]
Сдвиги Бернулли классифицируются по их метрической энтропии. ^[9]^[10]^[11] Подробнее см. Теорию Орнштейна .

См. Также

Теорема Крылова – Боголюбова о существовании инвариантных мер.
Теорема Пуанкаре о возвращении

Ссылки

^ a b Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer. ISBN 0-387-95152-0.
^ Синай, Я. Г. (1959). «К понятию энтропии динамической системы». Доклады Акад. АН СССР . 124 : 768–771.
^ Синай, Я. Г. (2007). «Метрическая энтропия динамической системы» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
^ Форман, М .; Вайс, Б. (2019). «От одометров к круговым системам: теорема о глобальной структуре». Журнал современной динамики . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . DOI : 10,3934 / jmd.2019024 .
^ Форман, М .; Вайс, Б. (2017). «Сохраняющие меру диффеоморфизмы тора неклассифицируемы». arXiv : 1705.04414 . Cite journal requires |journal= (help)
^ Hjorth, G. (2001). «Об инвариантах преобразований, сохраняющих меру» (PDF) . Фонд. Математика . 169 (1): 51–84.
^ Орнштейн, Д .; Рудольф, Д .; Вайс, Б. (1982). Эквивалентность преобразований, сохраняющих меру . Mem. American Mathematical Soc. 37 . ISBN 0-8218-2262-4.
^ Halmos, P .; фон Нейман, Дж. (1942). «Операторные методы в классической механике. II». Анналы математики . (2). 43 : 332–350. DOI : 10.2307 / 1968872 .
^ Синай, Я. (1962). «Слабый изоморфизм преобразований с инвариантной мерой». Доклады Акад. АН СССР . 147 : 797–800.
^ Орнштейн, Д. (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны» . Успехи в математике . 4 (3): 337–352. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .
^ Каток, А .; Хассельблатт, Б. (1995). «Введение в современную теорию динамических систем». Энциклопедия математики и ее приложений . 54 . Издательство Кембриджского университета.

Дальнейшее чтение

Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и субсдвиги конечного типа», (1991), появившаяся в главе 2 в « Эргодической теории, символической динамике и гиперболических пространствах» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и серия Кэролайн, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Содержит пояснительное введение, упражнения и обширные ссылки.)
Лай-Санг Янг , «Энтропия в динамических системах» ( pdf ; ps ), появившаяся в главе 16 в книге «Энтропия» , Андреас Гревен, Герхард Келлер и Джеральд Варнеке, ред. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси (2003). ISBN 0-691-11338-6
T. Schürmann и I. Hoffmann, Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. J. Phys. A 28 (17), page 5033, 1995. PDF-документ (дает более сложный пример динамической системы, сохраняющей меру).

[walters2000-1] Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer. ISBN 0-387-95152-0.

[2] Синай, Я. Г. (1959). «К понятию энтропии динамической системы». Доклады Акад. АН СССР . 124 : 768–771.

[3] Синай, Я. Г. (2007). «Метрическая энтропия динамической системы» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)

[4] Форман, М .; Вайс, Б. (2019). «От одометров к круговым системам: теорема о глобальной структуре». Журнал современной динамики . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . DOI : 10,3934 / jmd.2019024 .

[5] Форман, М .; Вайс, Б. (2017). «Сохраняющие меру диффеоморфизмы тора неклассифицируемы». arXiv : 1705.04414 . Cite journal requires |journal= (help)

[6] Hjorth, G. (2001). «Об инвариантах преобразований, сохраняющих меру» (PDF) . Фонд. Математика . 169 (1): 51–84.

[7] Орнштейн, Д .; Рудольф, Д .; Вайс, Б. (1982). Эквивалентность преобразований, сохраняющих меру . Mem. American Mathematical Soc. 37 . ISBN 0-8218-2262-4.

[8] Halmos, P .; фон Нейман, Дж. (1942). «Операторные методы в классической механике. II». Анналы математики . (2). 43 : 332–350. DOI : 10.2307 / 1968872 .

[9] Синай, Я. (1962). «Слабый изоморфизм преобразований с инвариантной мерой». Доклады Акад. АН СССР . 147 : 797–800.

[10] Орнштейн, Д. (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны» . Успехи в математике . 4 (3): 337–352. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .

[11] Каток, А .; Хассельблатт, Б. (1995). «Введение в современную теорию динамических систем». Энциклопедия математики и ее приложений . 54 . Издательство Кембриджского университета.

[1]