В математике , то теорема эквираспределения является утверждение о том , что последовательность
- а , 2 а , 3 а , ... мод 1
будет равномерно распределена по окружности , когда а - иррациональное число . Это частный случай эргодической теоремы, где берется нормированная угловая мера.
История
Хотя эта теорема была доказана в 1909 и 1910 годах отдельно Германом Вейлем , Вацлавом Серпинским и Пирсом Болем , варианты этой теоремы продолжают изучаться и по сей день.
В 1916 году Вейль доказал, что последовательность a , 2 2 a , 3 2 a , ... mod 1 равномерно распределена на единичном интервале. В 1935 году Иван Виноградов доказал, что последовательность p n a mod 1 равномерно распределена, где p n - n- е простое число . Доказательство Виноградова было побочным продуктом нечетной гипотезы Гольдбаха о том , что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел.
Джордж Биркгоф в 1931 г. и Александр Хинчин в 1933 г. доказали, что обобщение x + na для почти всех x равнораспределено на любом измеримом по Лебегу подмножестве единичного интервала. Соответствующие обобщения результатов Вейля и Виноградова были доказаны Жаном Бургеном в 1988 г.
В частности, Хинчин показал, что личность
выполняется для почти всех x и любой интегрируемой по Лебегу функции ƒ. В современных формулировках задается вопрос, при каких условиях идентичность
может выполняться при некоторой общей последовательности b k .
Один заслуживающий внимания результат состоит в том, что последовательность 2 k a mod 1 равномерно распределена почти для всех, но не для всех иррациональных a . Аналогично, для последовательности b k = 2 k a, для любого иррационального a и почти всех x существует функция ƒ, для которой сумма расходится. В этом смысле эта последовательность считается универсально плохой последовательностью усреднения , в отличие от b k = k , которая называется универсально хорошей последовательностью усреднения , поскольку она не имеет последнего недостатка.
Мощным общим результатом является критерий Вейля , который показывает, что эквираспределение эквивалентно наличию нетривиальной оценки экспоненциальных сумм, образованных с последовательностью в качестве показателей. В случае кратных a критерий Вейля сводит задачу к суммированию конечных геометрических рядов .
Смотрите также
Рекомендации
Исторические ссылки
- П. Бол, (1909) Über ein in der Theorie der säkutaren Störungen vorkommendes Problem , J. reine angew. Математика. 135. С. 189–283.
- Вейль, Х. (1910). "Uber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 330 : 377–407. DOI : 10.1007 / bf03014883 . S2CID 122545523 .
- W. Sierpinski, (1910) Sur la valeur asymptotique d'une suree somme , Bull Intl. Акад. Polonaise des Sci. et des Lettres (Cracovie), серия A , стр. 9–11.
- Вейль, Х. (1916). "Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" . Математика. Энн . 77 (3): 313–352. DOI : 10.1007 / BF01475864 . S2CID 123470919 .
- Биркгоф, GD (1931). «Доказательство эргодической теоремы» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 17 (12): 656–660. DOI : 10.1073 / pnas.17.12.656 . PMC 1076138 . PMID 16577406 .
- Я. Хинчин, А. (1933). "Lösung des Ergodensproblems Цура Биркгофа". Математика. Энн . 107 : 485–488. DOI : 10.1007 / BF01448905 . S2CID 122289068 .
Современные ссылки
- Джозеф М. Розенблатт и Мате Вейрдл, Точечно-эргодические теоремы через гармонический анализ , (1993), появившиеся в « Эргодической теории и ее связи с гармоническим анализом», Труды Александрийской конференции 1993 г. , (1995) Карл Э. Петерсен и Ибрагим А. Салама, ред. . , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, ISBN 0-521-45999-0 . (Обширный обзор эргодических свойств обобщений теоремы о равнораспределении отображений сдвига на единичном интервале . Основное внимание уделяется методам, разработанным Бургейном.)
- Элиас М. Стейн и Рами Шакарчи, Анализ Фурье. Введение , (2003) Princeton University Press, стр. 105–113 (Доказательство теоремы Вейля на основе анализа Фурье)