В математике , и , в частности , функциональном анализ , то оператор сдвига также известный как оператор сдвига является оператором , который принимает функцию х ↦ е ( х ) к его переводу х ↦ е ( х + с ) . [1] В анализе временных рядов оператор сдвига называется оператором запаздывания .
Операторы сдвига являются примерами линейных операторов , важными из-за их простоты и естественности. Действие оператора сдвига на функции действительной переменной играет важную роль в гармоническом анализе , например, оно появляется в определениях почти периодических функций , положительно определенных функций , производных и свертки . [2] Сдвиги последовательностей (функции целочисленной переменной) появляются в различных областях, таких как пространства Харди , теория абелевых многообразий и теория символической динамики , для которых отображение Бейкера является явным представлением.
Определение
Функции действительной переменной
Оператор сдвига T t (где t ∈ R ) переводит функцию f на R в ее перенос f t ,
Практическое представление операционного исчисления линейного оператора T t в терминах простой производной d ⁄ dx было введено Лагранжем ,
который может быть интерпретирован операционально через его формальное разложение Тейлора по t ; и действие которого на одночлен x n очевидно из биномиальной теоремы , а значит, и на все ряды по x , а значит, и на все функции f ( x ), как указано выше. [3] Таким образом, это формальное кодирование разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.
Таким образом, оператор обеспечивает прототип [4] знаменитого адвективного потока Ли для абелевых групп :
где канонические координаты h ( функции Абеля ) определены так, что
Например, легко следует, что дает масштабирование,
следовательно (паритет); так же,дает [5]
дает
дает
и т.п.
Начальное состояние потока и групповое свойство полностью определяют весь поток Ли, обеспечивая решение функционального уравнения сдвига [6]
Последовательности
Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:
а на двусторонних бесконечных последовательностях -
Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:
а на двусторонних бесконечных последовательностях -
Операторы правого и левого сдвига, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.
Абелевы группы
В общем, как показано выше, если F - функция на абелевой группе G , а h - элемент группы G , оператор сдвига T g отображает F в [6] [7]
Свойства оператора сдвига
Оператор сдвига, действующий на действительные или комплексные функции или последовательности, является линейным оператором, который сохраняет большинство стандартных норм, которые появляются в функциональном анализе. Поэтому обычно это непрерывный оператор с нормой единица.
Действие на гильбертовых пространствах
Оператор сдвига , действующее на двусторонний последовательностях является унитарным оператором на л 2 ( Z ) . Оператор сдвига, действующий на функции действительной переменной, является унитарным оператором на L 2 ( R ) .
В обоих случаях оператор (левого) сдвига удовлетворяет следующему коммутационному соотношению с преобразованием Фурье:
где M t - оператор умножения на exp (i t x ) . Следовательно, спектр T t - это единичная окружность.
Односторонний сдвиг S, действующий на ℓ 2 ( N ), является собственной изометрией с диапазоном, равным всем векторам, которые обращаются в нуль по первой координате . Оператор S является сжатие от T -1 , в том смысле , что
где y - вектор в ℓ 2 ( Z ) с y i = x i для i ≥ 0 и y i = 0 для i <0 . Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.
Спектр S - это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма ; он имеет индекс Фредгольма −1.
Обобщение
Жан Дельсарт ввел понятие оператора обобщенного сдвига (также называемого оператором обобщенного сдвига ); Дальнейшее развитие получил Борис Левитан . [2] [8] [9]
Семейство операторов { L x } x ∈ X, действующих в пространстве Φ функций из множества X в C , называется семейством операторов обобщенного сдвига, если выполняются следующие свойства:
- Ассоциативность: пусть ( R y f ) ( x ) = ( L x f ) ( y ) . Тогда L x R y = R y L x .
- Там существует е в X такое , что L е тождественный оператор.
В этом случае множество X называется гипергруппой .
Смотрите также
- Арифметический сдвиг
- Логический сдвиг
- Конечная разница
Заметки
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Оператор сдвига» . MathWorld .
- ^ а б Марченко, В.А. (2006). «Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи». Математические события ХХ века . Берлин: Springer. С. 145–162. DOI : 10.1007 / 3-540-29462-7_8 . Руководство по ремонту 2182783 .
- ^ Джордан, Чарльз, (1939/1965). Исчисление конечных разностей , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .
- ^ M Hamermesh (1989), Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, онлайн .
- ^ стр 75 Георга Шефферса (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 онлайн
- ^ a b Aczel, J (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .
- ^ «Однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе переводов». М. Хамермеш, там же .
- ^ Левитан БМ ; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Операторы обобщенного смещения" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ^ Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти периодическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press
Библиография
- Партингтон, Джонатан Р. (15 марта 2004 г.). Линейные операторы и линейные системы . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10,1017 / cbo9780511616693 . ISBN 978-0-521-83734-7.
- Марвин Розенблюм и Джеймс Ровняк, Классы Харди и теория операторов , (1985) Oxford University Press.