В функциональном анализе , А линейный ограниченный оператор является линейным преобразование L : X → Y между топологическими векторными пространствами (TVSS) Х и Y , что карты ограниченных подмножествами X на ограниченные подмножества Y . Если X и Y - нормированные векторные пространства (специальный тип TVS), то L ограничено тогда и только тогда, когда существует некоторое M ≥ 0 такое, что для всех x в X ,
- || Lx || Y ≤ M || х || X .
Наименьшее такое M , обозначенное || L || , Называется оператором нормы в L .
Последовательно непрерывный или непрерывный линейный оператор является ограниченным оператором, и, более того, линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Однако ограниченный линейный оператор между более общими топологическими векторными пространствами не обязательно является непрерывным.
В топологических векторных пространствах
Линейный оператор F : X → Y между двумя топологическими векторными пространствами (TVSS) является локально ограниченным или просто ограничен , если всяким раз , когда B ⊆ Х является ограниченным в X , то Р ( Б ) ограничен в Y . Подмножество TVS называется ограниченным (точнее, ограниченным по фон Нейману ), если каждая окрестность начала координат его поглощает . В нормированном пространстве (и даже в полунормированном пространстве ) подмножество ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме. Следовательно, для нормированных пространств понятие ограниченного множества фон Неймана идентично обычному понятию ограниченного по норме подмножества.
Каждый последовательно непрерывный линейный оператор между TVS является ограниченным оператором. [1] Отсюда следует, что любой линейный непрерывный оператор ограничен. Однако в общем случае ограниченный линейный оператор между двумя TVS не обязательно должен быть непрерывным.
Эта формулировка позволяет определить ограниченные операторы между общими топологическими векторными пространствами как оператор, переводящий ограниченные множества в ограниченные множества. В этом контексте все еще верно, что каждое непрерывное отображение ограничено, однако обратное неверно; ограниченный оператор не обязательно должен быть непрерывным. Ясно, что это также означает, что ограниченность больше не эквивалентна липшицевой непрерывности в этом контексте.
Если область является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS , пространством Фреше , нормированным пространством ), то линейные операторы в любых других локально выпуклых пространствах ограничены тогда и только тогда, когда они непрерывны. Для пространств LF имеет место более слабое обратное; любое ограниченное линейное отображение из LF-пространства секвенциально непрерывно .
Борнологические пространства
Борнологические пространства - это в точности те локально выпуклые пространства, где каждый ограниченный линейный оператор в другое локально выпуклое пространство обязательно ограничен. То есть локально выпуклая TVS X является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда для каждой локально выпуклой TVS Y линейный оператор F : X → Y непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. [2]
Каждое нормированное пространство борнологично.
Характеризации ограниченных линейных операторов
Пусть F : X → Y - линейный оператор между TVS (не обязательно по Хаусдорфу). Следующие варианты эквивалентны:
- F (локально) ограничен; [2]
- (Определение): F отображает ограниченные подмножества своей области на ограниченные подмножества своей области; [2]
- F отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своего образа Im F : = F ( X ) ; [2]
- F отображает каждую нулевую последовательность в ограниченную последовательность; [2]
- Последовательность нуля по определению представляет собой последовательность , которая сходится к происхождению.
- Таким образом, любое линейное отображение, которое последовательно непрерывно в начале координат, обязательно является ограниченным линейным отображением.
- F отображает каждую Макку последовательность сходится нуль до ограниченного подмножества Y . [примечание 1]
- Последовательность x • = ( x i )∞
я = 1называется Mackey сходящейся к началу координат весли существует расходящаяся последовательность r • = ( r i )∞
я = 1→ ∞ положительного действительного числа такое, что ( r i x i )∞
я = 1 является ограниченным подмножеством
- Последовательность x • = ( x i )∞
и если, кроме того , X и Y являются локально выпуклыми , то следующим может быть добавить в этот список:
- F отображает ограниченные диски в ограниченные диски. [3]
- F -1 отображает bornivorous диски в Y в bornivorous дисков в X . [3]
и если вдобавок X - борнологическое пространство, а Y локально выпукло, то к этому списку можно добавить следующее:
- F последовательно непрерывна. [4]
- F последовательно непрерывна в начале координат.
Ограниченные линейные операторы между нормированными пространствами
Ограниченный линейный оператор, как правило, не является ограниченной функцией , поскольку обычно можно найти последовательность x • = ( x i )∞
я = 1в X такое, что. Вместо этого все, что требуется для ограничения оператора, - это то, что
для всех x ≠ 0 . Таким образом, оператор L может быть ограниченной функцией, только если он удовлетворяет L ( x ) = 0 для всех x , что легко понять, если учесть, что для линейного операторадля всех скаляров a . Скорее, ограниченный линейный оператор - это локально ограниченная функция .
Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен , и по линейности тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле.
Эквивалентность ограниченности и непрерывности
Как сказано во введении, линейный оператор L между нормированными пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным оператором . Доказательство таково.
Предположим, что L ограничена. Тогда для всех векторов x , h ∈ X с ненулевым h имеем
Сдача стремление к нулю показывает, что L непрерывна в точке x . Кроме того, так как константа М не зависит от х , это показывает , что на самом деле L является равномерно непрерывным , и даже липшицевы .
Наоборот, из непрерывности в нулевом векторе следует, что существует такой, что для всех векторов h ∈ X с. Таким образом, для всех ненулевых x ∈ X выполняется
Это доказывает, что L ограничена.
Другие свойства
Условие ограниченности L , а именно наличие некоторого M такое, что для всех x
именно условие L , чтобы быть липшицируемыми на 0 (и , следовательно , во всем мире, потому что L является линейным).
Общая процедура определения линейного ограниченного оператора между двумя заданными банаховыми пространствами заключается в следующем. Во-первых, определите линейный оператор на плотном подмножестве его области определения так, чтобы он был локально ограничен. Затем продолжите оператор по непрерывности до непрерывного линейного оператора во всей области .
Примеры
- Любой линейный оператор между двумя конечномерными нормированными пространствами ограничен, и такой оператор можно рассматривать как умножение на некоторую фиксированную матрицу .
- Любой линейный оператор, определенный в конечномерном нормированном пространстве, ограничен.
- В пространстве последовательностей c 00 конечных нулевых последовательностей действительных чисел, рассматриваемых с нормой 1 , линейный оператор вещественных чисел, который возвращает сумму последовательности, ограничен с операторной нормой 1. Если то же пространство рассматривается с в л ∞ норма, тот же оператор не ограничен.
- Многие интегральные преобразования являются ограниченными линейными операторами. Например, если
- Оператор Лапласа
- Оператор сдвига в пространстве l 2 всех последовательностей ( x 0 , x 1 , x 2 ...) действительных чисел с
Неограниченные линейные операторы
Не всякий линейный оператор между нормированными пространствами ограничен. Пусть X - пространство всех тригонометрических полиномов, определенных на [−π, π], с нормой
Определите оператор L : X → X, который действует, взяв производную , таким образом, он отображает многочлен P в его производную P ′. Тогда для
при n = 1, 2, .... , имеем пока при n → ∞ , поэтому этот оператор не ограничен.
Оказывается, это не единичный пример, а, скорее, часть общего правила. Однако, учитывая любые нормированные пространства X и Y с Й бесконечномерными и Y не является нулевым пространства, можно найти линейный оператор , который не является непрерывным от X к Y .
То, что такой основной оператор, как производная (и другие) не ограничен, затрудняет изучение. Если, однако, тщательно определить область определения и диапазон производного оператора, можно показать, что это закрытый оператор . Замкнутые операторы более общие, чем ограниченные, но все же во многих отношениях «хорошо себя ведут».
Свойства пространства линейных ограниченных операторов
- Пространство всех линейных ограниченных операторов из X в Y обозначается B ( X , Y ) и является нормированным векторным пространством.
- Если Y банахов, то и B ( X , Y ) - тоже .
- откуда следует, что сопряженные пространства банаховы.
- Для любого A ∈ B ( X , Y ) , ядро А является замкнутым линейным подпространством X .
- Если B ( X , Y ) банахово и X нетривиально, то Y банахово.
Смотрите также
- Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
- Разрывная линейная карта
- Непрерывный линейный оператор
- Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
- Нормированное пространство
- Операторная алгебра - раздел функционального анализа
- Норма оператора - мера «размера» линейных операторов.
- Теория операторов
- Семинорм
- Неограниченный оператор
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
Рекомендации
- ^ Доказательство. Предположим для противоречия, что x • = ( x i )∞
я = 1сходится к 0, но F ( x • ) = ( F ( x i ))∞
я = 1не ограничена в Y . Выберите открытую сбалансированную окрестность V начала координат в Y так , чтобы V не поглощала последовательность F ( x • ) . Заменяя при необходимости x • подпоследовательностью, без ограничения общности можно предположить, что F ( x i ) ∉ i 2 V для любого натурального числа i . Последовательность z • : = ( x i / i )∞
я = 1сходится по Макки к началу координат (так как ( i z i )∞
я = 1= ( х я )∞
я = 1→ 0 ограничен в X ), поэтому по предположению F ( z • ) = ( F ( z i ))∞
я = 1ограничена в Y . Итак, выберите вещественное r > 1 такое, что F ( z i ) ∈ r V для каждого целого числа i . Если i > r - целое число, то, поскольку V сбалансировано, F ( x i ) ∈ r i V ⊆ i 2 V ; противоречие. ∎ Это доказательство легко обобщается, чтобы дать еще более сильную характеризацию « F ограничено». Например, слово "такое, что ( r i x i )∞
я = 1 является ограниченным подмножеством "в определении" Макки сходится к началу координат "можно заменить на" так, что ( r i x i )∞
я = 1→ 0 в"
- ^ Wilansky 2013 , стр. 47-50.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 441-457.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 444.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 451-457.
Библиография
- «Ограниченный оператор» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Крейсциг, Эрвин: Введение в функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .