Преобразование интервального обмена

График преобразования интервального обмена (черный) с помощью и . Синим цветом обозначена орбита, начиная с .${\ displaystyle \ lambda = (1 / 15,2 / 15,3 / 15,4 / 15,5 / 15)}$${\ Displaystyle \ pi = (3,5,2,4,1)}$${\ displaystyle 1/2}$

В математике , интервал обмен преобразование ^[1] является своим родом динамической системы , которая обобщает круг вращения . Фазовое пространство состоит из единичного интервала , и преобразование действует путем разрезания интервала на несколько подинтервалов, а затем перестановки этих подинтервалов. Они естественным образом возникают при изучении многоугольных биллиардов и потоков, сохраняющих площадь .

Формальное определение [ править ]

Позвольте и позвольте быть перестановкой на . Рассмотрим вектор положительных действительных чисел (ширины подынтервалов), удовлетворяющий ${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle 1, \ точки, п}$ ${\ displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} = 1.}$

Определите карту, называемую преобразованием интервального обмена, связанную с парой, следующим образом. Для аренды ${\ displaystyle T _ {\ pi, \ lambda}: [0,1] \ rightarrow [0,1],}$${\ Displaystyle (\ пи, \ лямбда)}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$

${\ displaystyle a_ {i} = \ sum _ {1 \ leq j <i} \ lambda _ {j} \ quad {\ text {and}} \ quad a '_ {i} = \ sum _ {1 \ leq j <\ pi (i)} \ lambda _ {\ pi ^ {- 1} (j)}.}$

Тогда для определим${\ Displaystyle х \ в [0,1]}$

${\ Displaystyle Т _ {\ пи, \ лямбда} (х) = х-а_ {я} + а '_ {я}}$

если лежит в подынтервале . Таким образом , действует на каждый подпериоде формы с помощью перевода , и это перестраивает эти подынтервалов , так что подинтервал в положении перемещается в положение .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle [а_ {я}, а_ {я} + \ лямбда _ {я})}$${\ displaystyle T _ {\ pi, \ lambda}}$${\ Displaystyle [а_ {я}, а_ {я} + \ лямбда _ {я})}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ пи (я)}$

Свойства [ править ]

Любое преобразование с заменой интервалов является биекцией самого себе, сохраняющей меру Лебега . Он непрерывен, за исключением конечного числа точек.${\ displaystyle T _ {\ pi, \ lambda}}$${\ displaystyle [0,1]}$

Обратный интервал преобразования обмена снова интервал преобразование обмена. По сути, это трансформация, где для всех .${\ displaystyle T _ {\ pi, \ lambda}}$${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Если и (в обозначении цикла ), и если мы соединим концы интервала, чтобы образовать круг, то это просто вращение круга . Вейль эквираспределения теорема тогда утверждает , что если длина является иррациональным , то есть однозначно эргодическая . Грубо говоря, это означает, что орбиты точек равномерно распределены. С другой стороны, если рационально, то каждая точка интервала периодична , а период является знаменателем (записывается наименьшими числами).${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \pi =(12)}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

Если и предоставляемые удовлетворяют некоторые условия невырожденности (а именно нет целого числа таких , что ), глубокая теорема , которая была гипотеза M.Keane и в связи независимо друг от друга , чтобы William A. Вич ^[2] и к Говарду Мазуру ^[3] утверждает что почти для всех выборов в единичном симплексе преобразование интервального обмена снова однозначно эргодично . Однако, поскольку также существуют варианты, которые являются эргодическими, но не однозначно эргодическими . Даже в этих случаях количество эргодических инвариантных мер${\displaystyle n>2}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 0<k<n}$${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ из конечно, и не больше .${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle n}$

Карты интервалов имеют нулевую топологическую энтропию . ^[4]

Одометры [ править ]

Диадический одометр ${\displaystyle T}$

Двойной одометр повторяется дважды; то есть${\displaystyle T^{2}.}$

Двойной одометр повторяется трижды; то есть${\displaystyle T^{3}.}$

Двойной одометр повторяется четыре раза; то есть${\displaystyle T^{4}.}$

Диадический одометр можно понимать как интервал обмена трансформация счетного числа интервалов. Диадический одометр проще всего записать как преобразование

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

определено на пространстве Кантора Стандартное отображение пространства Кантора в единичный интервал задается формулой${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

Это отображение является сохраняющим меру гомоморфизмом канторовского множества на единичный интервал, поскольку оно отображает стандартную меру Бернулли на канторовом множестве в меру Лебега на единичном интервале. Справа появляется изображение одометра и его первых трех итераций.

Высшие измерения [ править ]

Двумерные и многомерные обобщения включают в себя обмены полигонами, обмены полиэдров и кусочные изометрии . ^[5]

См. Также [ править ]

• Одометр

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артур Авила и Джованни Форни, Слабое смешивание для преобразований интервального обмена и потоков перевода , arXiv: math / 0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326