В математике , то теорема Крылова-Боголюбова (также известный как существование инвариантных мер теоремы ) может относиться к любой из двух смежных основных теорем в теории динамических систем . Теоремы гарантировать существование инвариантных мер для некоторых «хорошо» карты , определенные на «хороших» пространствах и были названа после того, как русский - украинские математики и теоретическая физика Николай Крылов и Николай Боголюбов , доказавшая теоремы. [1]
Формулировка теорем
Инвариантные меры для одиночной карты
Теорема (Крылов – Боголюбов) . Пусть ( X , T ) являются компактным , метризуемым топологическим пространство и F : X → X непрерывного отображения . Тогда F допускает инвариантную вероятностную борелевскую меру .
То есть, если Борель ( Х ) обозначает Борель а-алгебру , порожденную набор Т из открытых подмножеств в X , то существует вероятность того, мера М : Борель ( Х ) → [0, 1], что для любого подмножества A ∈ Борель ( X ),
Что касается продвижения вперед , это говорит о том, что
Инвариантные меры для марковского процесса
Пусть X - польское пространство и пусть- вероятности перехода для однородной по времени марковской полугруппы на X , т. е.
Теорема (Крылов – Боголюбов) . Если существует точкадля которого семейство вероятностных мер { P t ( x , ·) | t > 0} равномерно плотно и полугруппа ( P t ) удовлетворяет свойству Феллера , то существует по крайней мере одна инвариантная мера для ( P t ), т. е. вероятностная мера μ на X такая, что
Смотрите также
- По 1-й теореме: Я. Г. Синай (ред.) (1997): Динамические системы II. Эргодическая теория с приложениями к динамическим системам и статистической механике . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-17001-4 . (Секция 1).
- По второй теореме: Г. Да Прато и Дж. Забчик (1996): эргодичность для бесконечномерных систем . Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0-521-57900-7 . (Раздел 3).
Заметки
- ^ Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов (1937). "Общая теория измерений в сыном приложении к динамическим системам механического нелинера". Анналы математики . Вторая серия (на французском языке). Анналы математики. 38 (1): 65–113. DOI : 10.2307 / 1968511 . JSTOR 1968511 .Zbl. 16.86.
Эта статья включает материал из теоремы Крылова-Боголюбова о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .