В топологии и смежных областях математики , окрестности (или окрестности ) является одним из основных понятий в топологическом пространстве . Это тесно связано с концепциями открытого набора и интерьера . Интуитивно говоря, окрестность точки - это набор точек, содержащий эту точку, где можно переместиться на некоторое количество в любом направлении от этой точки, не выходя из набора.
Определения
Окрестности точки
Если является топологическим пространством и это точка в , Окрестность изэто подмножество из что включает в себя открытый набор содержащий
Это также эквивалентно точке принадлежащий топологическому внутреннему пространству в
Соседство нужно не открытое подмножество но когда открыт в тогда это называется открытый район . [1] Известно, что некоторые авторы требуют, чтобы районы были открытыми, поэтому важно соблюдать правила.
Множество, которое является окрестностью каждой из его точек, открыто, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств, содержащих каждую из его точек. Прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех своих точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в одном открытом наборе, содержащемся внутри прямоугольника.
Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в точке.
Окрестности множества
Если является подмножеством топологического пространствато окрестность из это набор что включает в себя открытый набор содержащий . Отсюда следует , что множество V есть окрестность S тогда и только тогда , когда она является окрестностью всех точек в S . Кроме того, V есть окрестность S , если и только если S является подмножеством внутренней части V . Окрестность S , который также открытое множество называется открытая окрестность из S . Окрестность точки - лишь частный случай этого определения.
В метрическом пространстве
В метрическом пространстве , множество это окрестность точкиесли существует открытый шар с центром и радиус , так что
содержится в .
называется равномерной окрестностью множества если существует положительное число так что для всех элементов из ,
содержится в .
Для в -район набора это множество всех точек в которые находятся на расстоянии меньше, чем из (или эквивалентно, является объединением всех открытых шаров радиуса которые сосредоточены в точке в ):
Отсюда непосредственно следует, что -окрестность является равномерной окрестностью, и что множество является равномерной окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит -окрестности за некоторую стоимость .
Примеры
Учитывая набор действительных чисел с обычной евклидовой метрикой и подмножеством определяется как
тогда является окрестностью множества из натуральных чисел , но это не единая окрестность этого множества.
Топология из окрестностей
Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого множества уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии, сначала определяя систему соседства , а затем открывая множества как те множества, которые содержат окрестность каждой из своих точек.
Система соседства на это назначение фильтра подмножеств для каждого в , так что
- точка является элементом каждого в
- каждый в содержит некоторые в так что для каждого в , в .
Можно показать, что оба определения совместимы, т. Е. Топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.
Единые кварталы
В едином пространстве , называется равномерной окрестности изесли есть свита такой, что содержит все точки которые -Близко к какой-то точке ; это, для всех .
Удаленный район
Проколотой окрестности точки(иногда называемая проколотой окрестностью ) - это окрестность, без . Например, интервал это район в реальной строке , поэтому набор удаленная окрестность . Удаленная окрестность данной точки на самом деле не является окрестностью точки. Понятие удаленной окрестности встречается в определении предела функции и в определении предельных точек (среди прочего).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Стерлинга К. Бербериана. Springer. п. 6 . ISBN 0-387-90972-9.
Согласно этому определению открытая окрестность не что иное, как открытое подмножество это содержит
- Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
- Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
- Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.