 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике понятие сокращаемого является обобщением понятия обратимого .
Элемент в магма ( М , *) имеет свойство левой отмены (или лево-сократимый ) , если для всех Ь и с в М , в * Ь = с * с всегда означает , что б = с .
Элемент в магма ( М , *) имеет право собственности отмены (или правая кнопка сократимый ) , если для всех Ь и с в М , Ь * = C * всегда означает , что Ь = гр .
Элемент a в магме ( M , ∗) обладает свойством двустороннего подавления (или является компенсирующим ), если он является одновременно левым и правым компенсирующим.
Магма ( M , *) обладает свойством левого подавления (или является компенсирующим слева), если все а в магме являются левыми компенсирующими, и аналогичные определения применяются для правого компенсирующего или двустороннего компенсирующего свойства.
Элемент, обратимый слева, является сокращающимся слева, и аналогично для правого и двустороннего.
Например, каждая квазигруппа и, следовательно, каждая группа является сокращающейся.
Интерпретация [ править ]
Для того, чтобы сказать , что элемент в магма ( М , *) лево-сократимая, это означает , что функция г : х ↦ * х является инъективным . [1] Инъективность функции g означает, что при некотором равенстве вида a ∗ x = b , где единственной неизвестной является x , существует только одно возможное значение x, удовлетворяющее равенству. Точнее, мы можем определить некоторую функцию f , обратную к g , такую, что для всехх е ( д ( х )) = е ( а * х ) = х . Другими словами, для всех x и y в M , если a * x = a * y , то x = y . [2]
Примеры сокращаемых моноидов и полугрупп [ править ]
Положительные (равно неотрицательные) целые числа образуют полугруппу сокращения при сложении. Неотрицательные целые числа при сложении образуют отменяющий моноид .
Фактически, любая свободная полугруппа или моноид подчиняется закону сокращения, и в общем случае любая полугруппа или моноид, встраиваемая в группу (как это явно делают приведенные выше примеры), будет подчиняться закону сокращения.
С другой стороны, (подполугруппа) мультипликативная полугруппа элементов кольца , которые не являются делителями нуля (которое является просто набором всех ненулевых элементов, если рассматриваемое кольцо является областью , как и целые числа), имеет свойство сокращения . Обратите внимание, что это остается в силе, даже если рассматриваемое кольцо некоммутативно и / или неединично.
Неконсенсативные алгебраические структуры [ править ]
Хотя закон отмены справедлив для сложения, вычитания, умножения и деления действительных и комплексных чисел (с единственным исключением умножения на ноль и деления нуля на другое число), существует ряд алгебраических структур, в которых закон отмены недействителен. .
Перекрестное произведение двух векторов не подчиняется закону отмены. Если a × b = a × c , то из этого не следует, что b = c, даже если a ≠ 0 .
Умножение матриц также не обязательно подчиняется закону отмены. Если AB = AC и A ≠ 0 , то необходимо показать , что матрица является обратимым (т.е. имеет DET ( ) ≠ 0 ) , прежде чем можно сделать вывод , что B = C . Если Det ( ) = 0 , то B может не равна С , так как матрица уравнения AX = B не будет иметь уникальное решение для необратимой матрицы A .
Также отметим , что , если АВ = СА и ≠ 0 и матрица является обратимым (т.е. имеет DET ( ) ≠ 0 ), это не всегда верно , что B = C . Отмена работает только для AB = AC и BA = CA ( при условии , что матрица является обратимым ) , а не для AB = CA и BA = AC .
См. Также [ править ]
- Группа Гротендик
- Обратимый элемент
- Отменительная полугруппа
- Интегральный домен
Ссылки [ править ]
- ^ Уорнер, Сет (1965). Современная алгебра Том I . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 50.
- ^ Уорнер, Сет (1965). Современная алгебра Том I . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 48.
