Отмена - это математический процесс, используемый для удаления подвыражений из математического выражения , когда это удаление не меняет смысл или значение выражения, потому что подвыражения имеют одинаковые и противоположные эффекты. Например, фракцию помещают в низких условиях путем отмены вне общих факторов на числитель и знаменатель . В качестве другого примера, если a × b = a × c , то мультипликативный член a может быть сокращен, если a≠ 0, в результате получается эквивалентное выражение b = c ; это эквивалентно разделению на .
Отмена
Если подвыражения не идентичны, их все же можно частично отменить. Например, в простом уравнении 3 + 2 y = 8 y обе стороны фактически содержат 2 y (потому что 8 y совпадает с 2 y + 6 y ). Следовательно, 2 y с обеих сторон могут быть отменены, в результате чего 3 = 6 y , или y = 0,5. Это эквивалентно вычитанию 2 y с обеих сторон.
Иногда отмена может внести ограниченные изменения или дополнительные решения в уравнение. Например, учитывая неравенство ab ≥ 3 b , похоже, что b с обеих сторон можно сократить, чтобы получить решение a ≥ 3 . Но такая «наивная» отмена будет означать, что мы не получим все решения (наборы ( a, b ), удовлетворяющие неравенству). Это потому, что если бы b было отрицательным числом, то деление на отрицательное изменило бы отношение ≥ на отношение ≤. Например, хотя 2 больше 1, –2 меньше –1. Кроме того, если b было равно нулю, то ноль умноженных на что-либо всего равно нулю, и отмена будет означать деление на ноль в этом случае, что невозможно. Фактически, при отмене работ, правильная отмена приведет нас к трем наборам решений, а не к одному, как мы думали, что у нас есть. Это также скажет нам, что наше «наивное» решение является решением только в некоторых случаях, а не во всех случаях:
- Если b > 0: мы можем сократить, чтобы получить a ≥ 3.
- Если б <0: то перечеркнул дает ≤ 3 вместо этого, потому что мы должны обратить отношения в этом случае.
- Если b точно равно нулю: тогда уравнение верно для любого значения a , потому что обе стороны будут равны нулю, и 0 ≥ 0.
Таким образом, может потребоваться некоторая осторожность, чтобы убедиться, что отмена выполняется правильно, и никакие решения не пропущены или неверны. У нашего простого неравенства есть три набора решений:
- b > 0 и a ≥ 3. (Например, b = 5 и a = 6 - решение, потому что 6 x 5 равно 30, а 3 x 5 равно 15, а 30 ≥ 15)
или - b <0 и a ≤ 3 (например, b = –5 и a = 2 является решением, потому что 2 x (–5) равно –10, а 3 x (–5) равно –15, а –10 ≥ –15)
или - b = 0 (и a может быть любым числом) (потому что все, что x ноль ≥ 3 x ноль)
- b > 0 и a ≥ 3. (Например, b = 5 и a = 6 - решение, потому что 6 x 5 равно 30, а 3 x 5 равно 15, а 30 ≥ 15)
Наше «наивное» решение (что a ≥ 3) также иногда было бы неверным. Например, если b = –5, то a = 4 не является решением, даже если 4 ≥ 3, потому что 4 × (–5) равно –20, а 3 x (–5) равно –15, а –20 не равно ≥ –15.
В продвинутой и абстрактной алгебре и в бесконечных сериях
В более продвинутой математике сокращение можно использовать в контексте бесконечных рядов , члены которых могут быть сокращены, чтобы получить конечную сумму или сходящийся ряд . В этом случае часто используется термин телескопирование . Часто требуется значительная осторожность и предотвращение ошибок, чтобы гарантировать, что исправленное уравнение будет действительным, или установить границы, в которых оно будет действительным, из-за природы таких рядов.
Связанные понятия и использование в других областях
В вычислительной науке , отменяя часто используются для повышения точности и времени выполнения из численных алгоритмов .