В теории категорий , разделе математики, концепция инъективного когенератора взята из таких примеров, как двойственность Понтрягина . Генераторы - это объекты, которые покрывают другие объекты в качестве приближения, и (двойственно) когенераторы - это объекты, которые охватывают другие объекты в качестве приближения.
Точнее:
- Генератор из категории с нулевым объектом является объектом G такое , что для любого ненулевого объекта H существует ненулевой нулевой морфизм F: G → H .
- Когенератор является объектом С таким образом, что для любого ненулевого объекта H существует ненулевой морфизм F: H → C . (Обратите внимание на обратный порядок).
Случай абелевой группы
Предполагая, что имеется категория, подобная категории абелевых групп , можно фактически формировать прямые суммы копий группы G до тех пор, пока морфизм
- f : Сумма ( G ) → H
является сюръективны ; и можно образовывать прямые произведения C до тех пор, пока морфизм
- f : H → Прод ( C )
является инъективным .
Например, целые числа являются генератором категории абелевых групп (поскольку каждая абелева группа является фактором свободной абелевой группы ). Это происхождение термина " генератор" . Приближение здесь обычно описывается как генераторы и отношения.
В качестве примера когенератора в той же категории у нас есть Q / Z , рациональные числа по модулю целых чисел, которые являются делимой абелевой группой. Для любой абелевой группы A существует изоморфная копия A, содержащаяся внутри произведения | A | копии Q / Z . Это приближение близко к тому, что называется делимой огибающей - истинная огибающая подчиняется условию минимальности.
Общая теория
Нахождение генератора абелевой категории позволяет выразить каждый объект как частное от прямой суммы копий генератора. Обнаружение когенератора позволяет выразить каждый объект как подобъект прямого произведения копий когенератора. Часто интересуют проективные генераторы (даже конечно порожденные проективные генераторы, называемые проективными генераторами) и минимальные инъективные когенераторы. Оба приведенных выше примера обладают этими дополнительными свойствами.
Когенератор Q / Z полезен при изучении модулей над общими кольцами. Если Н является левым модулем над кольцом R , образует одну (алгебраический) характер модуль Н * , состоящие из всех абелевых групп гомоморфизмов от H до Q / Z . Тогда H * - правый R-модуль. Q / Z как когенератор точно говорит, что H * равно 0 тогда и только тогда, когда H равно 0. Верно даже больше: операция * принимает гомоморфизм
- е : H → K
к гомоморфизму
- f *: K * → H *,
и f * равно 0 тогда и только тогда, когда f равно 0. Таким образом, это точный контравариантный функтор от левых R -модулей к правым R -модулям.
Каждый H * чисто инъективен (также называется алгебраически компактным). Часто можно рассмотреть проблему после применения *, чтобы упростить задачу.
Все это также может быть сделано для непрерывных модулей H : один образует топологический модуль характера непрерывных гомоморфизмов группы из Н в круге группа R / Z .
В общей топологии
Теорема Титце о расширении может использоваться, чтобы показать, что интервал является инъективным когенератором в категории топологических пространств, подчиняющихся аксиомам разделения .