В математике , алгебраически компактные модули , называемые также чистые -инъективных модулями , являются модулями , которые имеют определенное свойство «хорошее» , которая позволяет решение бесконечных систем уравнений в модуле с помощью финитных средств. Решения этих систем допускают расширение некоторых видов гомоморфизмов модулей . Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективным модулям , в которых можно расширить все гомоморфизмы модулей. Все инъективные модули алгебраически компактны, и аналогия между ними довольно точна с помощью вложения категорий.
Определения [ править ]
Пусть R - кольцо , M - левый R -модуль. Рассмотрим систему бесконечного числа линейных уравнений
где оба множества I и J могут быть бесконечными, и для каждого i число ненулевых конечно.
Цель состоит в том, чтобы решить, имеет ли такая система решение , то есть существуют ли элементы x j из M , при которых одновременно выполняются все уравнения системы. (Не требуется, чтобы только конечное число x j отличалось от нуля.)
Модуль M является алгебраически компактным, если для всех таких систем, если каждая подсистема, образованная конечным числом уравнений, имеет решение, то вся система имеет решение. (Решения для различных подсистем могут быть разными.)
С другой стороны, гомоморфизм модулей M → K является чисто инъективным, если индуцированный гомоморфизм между тензорными произведениями C ⊗ M → C ⊗ Kявляется инъективны для каждого правого R - модуля C . Модуль M является чисто инъективным, если любой чистый инъективный гомоморфизм j : M → K расщепляется (т.е. существует f : K → M с ).
Оказывается, модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он чисто инъективен.
Примеры [ править ]
Все модули с конечным числом элементов алгебраически компактны.
Каждое векторное пространство алгебраически компактно (поскольку оно чисто инъективно). В более общем смысле каждый инъективный модуль алгебраически компактен по той же причине.
Если R является ассоциативная алгебра с 1 над некоторым полем к , то каждый R - модуль с конечным к - размерность алгебраически компактна. Это, вместе с тем фактом, что все конечные модули алгебраически компактны, дает начало интуиции, что алгебраически компактные модули - это те (возможно, «большие») модули, которые разделяют хорошие свойства «маленьких» модулей.
В группах прюферовых алгебраически компактные абелевые группы (то есть Z -модули). Кольцо р -адических чисел для каждого простого р алгебраически компактно и как модуль над самими собой и модулем над Z . В рациональные числа алгебраически компактно как Z - модуль. Вместе с неразложимыми конечными модулями над Z это полный список неразложимых алгебраически компактных модулей.
Многие алгебраически компактные модули могут быть получены с помощью инъективного когенератора Q / Z абелевых групп. Если Н является правым модулем над кольцом R , образует одну (алгебраический) характер модуль Н * , состоящие из всех гомоморфизмов группы от H до Q / Z . Это то левый R - модуль, а * -operation дает верный контравариантен функтор из правого R -модулями в левой R -модулей. Каждый модуль вида H* алгебраически компактно. Кроме того, существует чистые инъективные гомоморфизмы Н → Н **, естественно , в H . Часто можно упростить задачу, сначала применив * -функцию, поскольку с алгебраически компактными модулями легче работать.
Факты [ править ]
Следующее условие эквивалентно алгебраической компактности M :
- Для каждого индексного множества I отображение сложения M (I) → M может быть расширено до гомоморфизма модулей M I → M (здесь M (I) обозначает прямую сумму копий M , по одной для каждого элемента I ; M I обозначает произведение копий M , по одной для каждого элемента I ).
Каждый неразложимый алгебраически компактный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов .
Алгебраически компактные модули имеют множество других свойств с инъективными объектами из - за следующим: существует вложение R -Mod в категорию Гротендик G , при которых алгебраически компактной R -модулей точно соответствовать инъективным объектам в G .
Каждый R -модуль элементарно эквивалентен алгебраически компактному R -модулю и прямой сумме неразложимых алгебраически компактных R -модулей. [1]
Ссылки [ править ]
- ^ Прест, Майк (1988). Теория моделей и модули . Серия лекций Лондонского математического общества: Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1.
- К. У. Дженсен и Х. Ленцинг: теоретико-модельная алгебра , Гордон и Брич, 1989