В математике, более конкретно в теории категорий , квазикатегория (также называемая квазикатегорией , слабым комплексом Кана , внутренним комплексом Кана , бесконечной категорией , ∞-категорией , комплексом Бордмана , кватегорией ) является обобщением понятия категории . Изучение таких обобщений известно как теория высших категорий .
Квазикатегории были введены Boardman & Vogt (1973) . Андре Жоял значительно продвинулся в изучении квазикатегорий, показав, что большая часть обычной базовой теории категорий и некоторые продвинутые понятия и теоремы имеют свои аналоги для квазикатегорий. Подробный трактат теории квазикатегорий был изложен Якобом Лурье ( 2009 ).
Квазикатегории - это определенные симплициальные множества . Как и обычные категории, они содержат объекты (0-симплексы симплициального множества) и морфизмы между этими объектами (1-симплексы). Но, в отличие от категорий, композиция двух морфизмов не требует однозначного определения. Все морфизмы, которые могут служить композицией двух данных морфизмов, связаны друг с другом обратимыми морфизмами более высокого порядка (2-симплексы, рассматриваемые как «гомотопии»). Эти морфизмы более высокого порядка также могут быть составлены, но опять же композиция хорошо определена только с точностью до обратимых морфизмов еще более высокого порядка и т. Д.
Идея теории высших категорий (по крайней мере, теории высших категорий, когда высшие морфизмы обратимы) состоит в том, что, в отличие от стандартного понятия категории, должно существовать пространство отображения (а не набор отображений) между двумя объектами. Это предполагает, что более высокая категория должна быть просто топологически обогащенной категорией . Однако модель квазикатегорий лучше подходит для приложений, чем модель топологически обогащенных категорий, хотя Лурье доказал, что эти две модели имеют естественные модельные структуры, эквивалентные Квиллену .
Определение
По определению квазикатегория C - это симплициальное множество, удовлетворяющее внутренним условиям Кана (также называемым слабым условием Кана): каждый внутренний рог в C , а именно отображение симплициальных множеств где , имеет заполнитель, то есть расширение карты . (См. Определение симплициальных множеств в разделе " Расслоение Кана # Определение". а также .)
Идея состоит в том, что 2-симплексы должны представлять коммутативные треугольники (по крайней мере, с точностью до гомотопии). Картапредставляет собой составную пару. Таким образом, в квазикатегории нельзя определить закон композиции для морфизмов, поскольку можно выбрать множество способов составления карт.
Одним из следствий определения является то, что является тривиальным расслоением Кана. Другими словами, хотя закон композиции не определен однозначно, он уникален с точностью до стягиваемого выбора.
Гомотопическая категория
Учитывая квази-категории C, можно связать с ним обычную категорию Нс называется гомотопической категория из C . Объектами гомотопической категории являются вершины C. Морфизмы задаются гомотопическими классами ребер между вершинами. Состав дается с использованием условия наполнителя рупора для n = 2.
Для общего симплициального множества существует функтор от sSet до Cat , известного как функтор фундаментальной категории , и для квазикатегории C фундаментальная категория совпадает с гомотопической категорией, т. е..
Примеры
- Нерв категории является квази-категорией с дополнительным свойством , что заполнение любого внутреннего рога является уникальным. Наоборот, квазикатегория такая, что любой внутренний рог имеет единственное заполнение, изоморфна нерву некоторой категории. Категория Гомотопический нерва С изоморфна С .
- Учитывая топологическое пространство X , можно определить его сингулярное множество S ( X ), также известное как основополагающий ∞-группоид X . S ( X ) - квазикатегория, в которой любой морфизм обратим. Гомотопия категория S ( X ) является фундаментальным группоидом из X .
- Более общий, чем предыдущий пример, каждый комплекс Кана является примером квазикатегории. В комплексе Кана могут быть заполнены все отображения всех рогов, а не только внутренних, что опять же приводит к тому, что все морфизмы в комплексе Кана обратимы. Таким образом, комплексы Кана являются аналогами группоидов - нерв категории является комплексом Кана тогда и только тогда, когда категория является группоидом.
Варианты
- (∞, 1) -category является не-обязательно-квази-категория ∞-категория , в которой все п -morphisms для п > 1 эквивалентностей. Существует несколько моделей (∞, 1) -категорий, включая категорию Сигала , симплициально обогащенную категорию , топологическую категорию , полное пространство Сигала . Квазикатегория также является (∞, 1) -категорией.
- Структура модели Существует модельная структура на sSet-категориях, которая представляет (∞, 1) -категорию (∞, 1) Cat.
- Гомотопическое расширение Кана Понятие гомотопического расширения Кана и, следовательно, в частности, понятие гомотопического предела и гомотопического копредела имеет прямую формулировку в терминах категорий, обогащенных комплексом Кан. См. Дополнительные сведения о гомотопическом расширении Кан.
- Представление теории (∞, 1) -топосов Вся теория (∞, 1) -топосов может быть смоделирована в терминах sSet-категорий. (Тоен Веццози). Существует понятие sSet-сайта C, которое моделирует понятие (∞, 1) -сайта и модельную структуру на sSet-обогащенных предварительных пучках на sSet-узлах, которая является представлением ∞-стека (∞, 1) -топов. на C.
Смотрите также
Рекомендации
- Бордман, JM; Фогт, Р.М. (1973), Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах , Лекционные заметки по математике, 347 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068547 , ISBN 978-3-540-06479-4, MR 0420609
- Грот, Мориц, Краткий курс бесконечных категорий (PDF)
- Joyal, Андре (2002), "Квази-категории и Kan комплексы", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 175 (1): 207-222, DOI : 10.1016 / S0022-4049 (02) 00135-4 , MR 1935979
- Хоял, Андре ; Тирни, Майлз (2007), «Квазикатегории против пространств Сигала», Категории в алгебре, геометрии и математической физике , Contemp. Math., 431 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR 2342834
- Joyal, A. (2008), Теория квазикатегорий и ее приложения, лекции в CRM Barcelona (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
- Джоял, А., Заметки о квазикатегориях (PDF)
- Лурье, Джейкоб (2009), теория высших топосов , Annals of Mathematics Studies, 170 , Princeton University Press , arXiv : math.CT / 0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, Руководство по ремонту 2522659
- Статья Joyal в Catlab: теория квазикатегорий
- квази-категории в nLab
- бесконечная категория в nLab
- фундаментальная + категория в nLab
- Бергнер, Юлия Э (2011). «Практикум по гомотопической теории гомотопических теорий». arXiv : 1108.2001 [ math.AT ].
- (∞, 1) -категория в nLab
- Хинич, Владимир (19.09.2017). «Лекции по категориям бесконечности». arXiv : 1709.06271 [ math.CT ].