Расслоение Кана

В математике Кан комплексы и Кан слоение является частью теории симплициальных множеств . Расслоения Кана являются расслоениями стандартной модели категориальной структуры на симплициальных множествах и поэтому имеют фундаментальное значение. Комплексы Кан являются фибрантными объектами в этой категории моделей. Название в честь Дэниела Кана .

Определения [ править ]

Определение стандартного n-симплекса [ править ]

Полосатый синий симплекс в области должен существовать, чтобы это отображение было расслоением Кана.

Для каждого п  ≥ 0, напомним , что стандартный симплекс${\ displaystyle n}$ , является представима симплициальное множество${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$

${\ displaystyle \ Delta ^ {n} (i) = \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {\ Delta}} ([i], [n])}$

Применение функтора геометрической реализации к этому симплициальному множеству дает пространство, гомеоморфное топологическому стандартному -симплексу${\ displaystyle n}$ : выпуклое подпространство в ℝ ^{n + 1,} состоящее из всех точек , координаты которых неотрицательны и в сумме равны 1.${\ Displaystyle (т_ {0}, \ точки, т_ {п})}$

Определение рога [ править ]

Для каждого k  ≤  n у этого есть подкомплекс , k -й рог внутри , соответствующий границе n -симплекса, с удаленной k -й гранью. Это может быть формально определено различными способами, как, например, объединение изображений n карт, соответствующих всем другим граням . ^[1] Рога фигуры, сидящей внутри, выглядят как черная буква V в верхней части соседнего изображения. Если - симплициальное множество, то отображает${\ displaystyle \ Lambda _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {n-1} \ rightarrow \ Delta ^ {n}}$${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle \ Delta ^ {2}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle s: \ Lambda _ {k} ^ {n} \ to X}$

соответствуют коллекциям -симплексов, удовлетворяющим условию совместимости, по одному для каждого . В явном виде это условие можно записать следующим образом. Напишите -симплексы в виде списка и потребуйте, чтобы${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$${\ Displaystyle 0 \ Leq К \ Leq N-1}$${\ Displaystyle (п-1)}$${\ displaystyle (s_ {0}, \ dots, s_ {k-1}, s_ {k + 1}, \ dots, s_ {n})}$

${\ Displaystyle d_ {я} s_ {j} = d_ {j-1} s_ {i} \,}$для всех с . ^[2]${\displaystyle i<j}$${\displaystyle i,j\neq k}$

Эти условия выполняются для -просты сидения внутри .${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$

Определение расслоения Кана [ править ]

Диаграмма подъема расслоения Кана

Отображение симплициальных множеств является расслоением Кана, если для любых и , и для любых отображений и таких, что (где - включение in ) существует отображение такое, что и . Сформулированное таким образом, определение очень похоже на определение расслоений в топологии (см. Также свойство гомотопического подъема ), отсюда и название «расслоение».${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle s=x\circ i}$${\displaystyle y=f\circ x}$

Технические примечания [ править ]

Используя соответствие между -симплексами симплициального множества и морфизмами (следствие леммы Йонеды ), это определение можно записать в терминах симплексов. Изображение карты можно представить как рог, как описано выше. Спрашивать, что факторы до конца соответствует требованию, чтобы был -симплекс , лица которого составляют рог (вместе с одной другой гранью). Тогда требуемое отображение соответствует симплексу, в грани которого входит рог из . На диаграмме справа показан пример в двух измерениях. Так как черная буква V на нижней диаграмме заполнена синим${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle fs:\Lambda _{k}^{n}\to Y}$${\displaystyle fs}$${\displaystyle yi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle fs}$${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 2}$-simplex, если черный V наверху отображается на него, тогда должен существовать полосатый синий -симплекс вместе с пунктирным синим -симплексом, отображающийся очевидным образом. ^[3]${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$

Комплексы Кана, определенные из расслоений Кана [ править ]

Симплициальное множество называется комплексом Кана, если отображение из одноточечного симплициального множества является расслоением Кана. В категории модели для симплициальных множеств это конечный объект, поэтому комплекс Кана в точности такой же, как и фибрантный объект . Эквивалентно это можно было бы сформулировать так: если каждая карта от рога имеет расширение до , что означает, что есть подъемник, такой, что${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to \{*\}}$${\displaystyle \{*\}}$${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \alpha ={\tilde {\alpha }}\circ \iota }$

для включения карты , то есть комплекс Кана. И наоборот, каждый комплекс Кана обладает этим свойством, следовательно, он дает простое техническое условие для комплекса Кана.${\displaystyle \iota :\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$${\displaystyle X}$

Примеры [ править ]

Симплициальные множества из сингулярных гомологий [ править ]

Важным примером является конструкция сингулярных симплексов, используемых для определения особых гомологий , которая называется сингулярным функтором ^{[4] стр. 7}

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$.

Для данного пространства определим сингулярный -симплекс X как непрерывное отображение стандартного топологического -симплекса (как описано выше) в ,${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

Если взять набор этих карт для всех неотрицательных, получается градуированный набор,${\displaystyle n}$

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$.

Чтобы превратить это в симплициальный набор, определите карты лиц как${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

и вырождение карты по${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$.

Так как объединение любых граней является сильным деформационным ретрактом из , любая непрерывная функция , определенная на этих граней может быть расширен до , который показывает , что является сложнее Кан. ^[5]${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \Delta _{n+1}}$${\displaystyle \Delta _{n+1}}$${\displaystyle \Delta _{n+1}}$${\displaystyle S(X)}$

Связь с геометрической реализацией [ править ]

Стоит отметить, что сингулярный функтор сопряжен справа с функтором геометрической реализации

${\displaystyle |\cdot |:s{\text{Sets}}\to {\text{Top}}}$

давая изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Top}}(|X|,Y)\cong {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X,S(Y))}$

Симплициальные множества, лежащие в основе симплициальных групп [ править ]

Можно показать, что симплициальное множество, лежащее в основе симплициальной группы , всегда фибрантно ^{[4] стр. 12} . В частности, для симплициальной абелевой группы ее геометрическая реализация гомотопически эквивалентна произведению пространств Эйленберга-Маклейна

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

В частности, это включает классификационные пространства . Таким образом, пространства , и бесконечные линзовые пространства соответствуют комплексам Кана некоторого симплициального множества. Фактически, это множество можно построить явно, используя соответствие Дольда – Кана цепного комплекса и взяв базовое симплициальное множество симплициальной абелевой группы.${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$

Геометрические реализации малых группоидов [ править ]

Другой важный источник примеров - симплициальные множества, связанные с небольшим группоидом . Это определяется как геометрическая реализация симплициального множества и обычно обозначается . Мы также могли бы заменить бесконечный группоид. Предполагается, что гомотопическая категория геометрических реализаций бесконечных группоидов эквивалентна гомотопической категории гомотопических типов. Это называется гипотезой гомотопии.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Не пример: стандартный n-симплекс [ править ]

Оказывается, стандартный -простой комплекс не является комплексом Кана ^{[6] стр. 38} . Конструирование примера счетчика в целом можно найти, посмотрев, скажем, на пример с малой размерностью . Принимая отправку карты${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{1}}$${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

дает встречный пример, поскольку он не может быть расширен до карты, потому что карты должны сохранять порядок. Если бы была карта, пришлось бы прислать${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

но это не карта симплициальных множеств.

Категориальные свойства [ править ]

Симплициальное обогащение и функциональные комплексы [ править ]

Для симплициальных множеств существует ассоциированное симплициальное множество, называемое функциональным комплексом , где симплексы определяются как${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

а для порядкового отображения существует индуцированное отображение${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

(поскольку первый множитель Hom противоположен) определяется отправкой карты в композицию${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta _{n}\xrightarrow {f} Y}$

Экспоненциальный закон [ править ]

Этот комплекс имеет следующий экспоненциальный закон симплициальных множеств

${\displaystyle {\text{ev}}_{*}:{\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(K,{\textbf {Hom}}(X,Y))\to {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times K,Y)}$

который отправляет карту в составную карту${\displaystyle f:K\to {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle X\times K\xrightarrow {1\times g} X\times {\textbf {Hom}}(X,Y)\xrightarrow {ev} Y}$

где для поднятого на n-симплекс .${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})}$${\displaystyle \iota _{n}\in {\text{Hom}}_{\Delta }([n],[n])}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$

Расслоения Кана и откаты [ править ]

Для (канского) расслоения и включения симплициальных множеств существует расслоение ^{[4] стр.}${\displaystyle p:X\to Y}$${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

(где находится в функциональном комплексе в категории симплициальных множеств), индуцированном коммутативной диаграммой${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

где - карта обратного отсчета, заданная прекомпозицией, и - карта продвижения вперед, заданная пост-композицией. В частности, предыдущее расслоение подразумевает и являются расслоениями.${\displaystyle i^{*}}$${\displaystyle p_{*}}$${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$

Приложения [ править ]

Гомотопические группы комплексов Кана [ править ]

В гомотопических группы из fibrant в симплициальном наборе могут быть определены комбинаторно, используя рога, таким образом , что согласуется с гомотопическими группами топологического пространства, реализующим его. Для комплекса Кана и вершины как множество определяется как набор отображений симплициальных множеств, укладывающихся в некоторую коммутативную диаграмму:${\displaystyle X}$${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\Delta ^{n}&{\overset {\alpha }{\to }}&X\\\uparrow &&\uparrow x\\\partial \Delta ^{n}&\to &\Delta ^{0}\end{matrix}}\right\}}$

Обратите внимание, что факт отображается в точку эквивалентно определению сферы как частного для стандартного единичного шара.${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B^{n}/\partial B^{n}}$

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{eu}\leq 1\}}$

Для определения структуры группы потребуется немного больше работы. По сути, для данных двух карт существует связанный -прост , который дает их сложение. Это отображение четко определено с точностью до симплициальных гомотопических классов отображений, задающих групповую структуру. Более того, группы абелевы при . В самом деле, он определяется как гомотопические классы вершинных отображений .${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \pi _{0}(X)}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$

Гомотопические группы симплициальных множеств [ править ]

Используя категории моделей, любое симплициальное множество имеет фибрантную замену, которая гомотопически эквивалентна гомотопической категории симплициальных множеств. Тогда гомотопические группы можно определить как${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

где находится подъемник до . Эти фибрантные замены можно рассматривать как топологический аналог резольвент цепного комплекса (такого как проективная резольвента или плоская резольвента ).${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$

См. Также [ править ]

• Категория модели
• Симплициальная теория гомотопий
• Симплициально обогащенная категория
• Слабый комплекс Кана (также называемый квазикатегорией, ∞-категорией)
• ∞-группоид

Ссылки [ править ]

• Элементарное иллюстрированное введение в симплициальные множества

Библиография [ править ]

• Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная теория гомотопий . Базель: Birkhäuser Basel. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-0348-9737-2. Руководство по ремонту  1711612 .
• Мэй, Дж. Питер (1992) [1967]. Симплициальные объекты в алгебраической топологии . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-51180-4. Руководство по ремонту  1206474 .