В теории категорий , разделе математики, ∞-группоид представляет собой абстрактную гомотопическую модель топологических пространств. Одна модель использует комплексы Кана, которые являются фибрантными объектами в категории симплициальных множеств (со стандартной структурой модели ). [1] Это обобщение ∞-категории группоида , категории, в которой каждый морфизм является изоморфизмом.
Гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоиды являются пространствами. [2] : 2–3 [3]
Шаровидные группоиды
Александр Гротендик предложил в Pursuing Stacks [2] : 3–4, 201, что должна существовать чрезвычайно простая модель ∞-группоидов, использующая глобулярные множества , первоначально названные полусферическими комплексами. Эти множества строятся как предварительные пучки на глобулярной категории. Это определяется как категория, объекты которой являются конечными ординалами. а морфизмы задаются
такие, что глобулярные отношения выполняются
Они кодируют тот факт, что -морфизмы не должны видеть -морфизмы. При записи их в виде шаровидного множества, тогда исходная и целевая карты записываются как
Мы также можем рассматривать шаровые объекты в категории как функторы
Первоначально существовала надежда, что такой строгой модели будет достаточно для теории гомотопии, но есть свидетельства, свидетельствующие об обратном. Получается для ассоциированная с ней гомотопия -тип никогда не может быть смоделирован как строгий шаровидный группоид для . [2] : 445 [4] Это потому, что строгие ∞-группоиды только модельные пространства с тривиальным произведением Уайтхеда . [5]
Примеры
Фундаментальный ∞-группоид
Учитывая топологическое пространство должен существовать ассоциированный фундаментальный ∞-группоид где объекты являются точками 1-морфизмы представлены как пути, 2-морфизмы являются гомотопиями путей, 3-морфизмы являются гомотопиями гомотопий и т. д. Из этого бесконечного группоида мы можем найти-группоид называется фундаментальным -группоидный чей гомотопический тип является гомотопическим типом .
Отметим, что взяв фундаментальный ∞-группоид пространства такой, что эквивалентен фундаментальному n-группоиду . Такое пространство можно найти с помощью башни Уайтхеда .
Абелевы шаровидные группоиды
Один полезный случай глобулярных группоидов происходит от цепного комплекса, который ограничен сверху, поэтому давайте рассмотрим цепной комплекс . [6] Есть связанный с ним шаровидный группоид. Интуитивно понятно, что объекты - это элементы в, морфизмы происходят из через сетевую сложную карту , и выше -морфизмы могут быть найдены из более высоких цепных комплексных отображений . Мы можем сформировать шаровое множество с участием
и исходный морфизм это карта проекции
и целевой морфизм является добавлением цепной комплексной карты вместе с картой проекции. Это формирует шаровидный группоид, дающий широкий класс примеров строгих шаровидных группоидов. Более того, поскольку строгие группоиды встраиваются внутрь слабых группоидов, они также могут действовать как слабые группоиды.
Приложения
Высшие локальные системы
Одна из основных теорем о локальных системах состоит в том, что их можно эквивалентно описать как функтор от фундаментального группоида категории абелевых групп, категории -модули или какая-то другая абелева категория . То есть локальная система эквивалентна предоставлению функтора
Обобщение такого определения требует, чтобы мы рассматривали не только абелеву категорию, но и производную от нее категорию . Тогда высшая локальная система является ∞-функтором
со значениями в некоторой производной категории. Это имеет то преимущество, что позволяет высшим гомотопическим группамдействовать на более высокую локальную систему из серии усечений. Игрушечный пример для изучения взят из пространств Эйленберга – Маклейна. , или взглянув на термины из башни Уайтхеда пространства. В идеале должен быть способ восстановить категории функторов. от их усечений и карты чьи волокна должны относиться к категории -функторы
Еще одно преимущество этого формализма состоит в том, что он позволяет строить высшие формы -адические представления с использованием этального гомотопического типа схемы и построить высшие представления этого пространства, так как они задаются функторами
Высшие герберы
Еще одно применение ∞-группоидов - построение n-гербов и ∞-гербов. Над пространством н-герб должен быть объектом так что при ограничении до достаточно малого подмножества , представлен n-группоидом, и на перекрытиях есть согласие до некоторой слабой эквивалентности. Если предположить, что гипотеза гомотопии верна, это эквивалентно построению объекта. так что по любому открытому подмножеству
является n-группой или гомотопическим n-типом . Поскольку нерв категории можно использовать для построения произвольного гомотопического типа, функтор над сайтом, например
даст пример высшего герба, если категория лежать над любой точкой непустая категория. Вдобавок можно было ожидать, что эта категория будет удовлетворять какому-то условию происхождения.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "Комплекс Кан в nLab" .
- ^ а б в Гротендик. «Погоня за стеками» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 года . Проверено 17 сентября 2020 .
- ^ Мальциниотис, Жорж. «Бесконечные группоиды Гротендика и еще одно определение бесконечных категорий» (PDF) . Архивировано 3 сентября 2020 года (PDF) .
- ^ Симпсон, Карлос (1998-10-09). «Гомотопические типы строгих 3-группоидов». arXiv : math / 9810059 .
- ^ Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж. (1981). «Эквивалентность $ \ infty $ -группоидов и скрещенных комплексов» . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 22 (4): 371–386.
- ^ Ара. "Sur les infinity-groupoïdes de Grothendieck et une variante infinity-catégorique" (PDF) . Раздел 1.4.3. Архивировано 19 августа 2020 года (PDF) из оригинала.
Исследовательские статьи
- О гипотезе гомотопии в размерности 3
- Замечание о построении глобулярных слабых омега-группоидов из типов, топологических пространств и т. Д.
- Высшая монодромия
- Высшая теория Галуа
Приложения в алгебраической геометрии
- Гомотопические типы алгебраических многообразий - Бертран Тоен
Внешние ссылки
- бесконечный группоид в nLab
- Мальциниотис, Джордж (2010), «∞-группоиды Гротендика и еще одно определение ∞-категорий», arXiv : 1009.2331 [ math.CT ]
- Завадовски, Марек, Введение в категории тестов (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2015 г.
- Этальные когомологии и представления Галуа