Продукт от белых угрей

В математике произведение Уайтхеда - это структура градуированной квазилиевой алгебры на гомотопических группах пространства. Он был определен Дж. Х. К. Уайтхедом в ( Whitehead 1941 ).

Соответствующий код MSC : 55Q15, Продукты Уайтхеда и обобщения.

Определение

Данные элементы ${\ displaystyle f \ in \ pi _ {k} (X), g \ in \ pi _ {l} (X)}$, скобка Уайтхеда

${\ Displaystyle [е, г] \ в \ пи _ {к + l-1} (Х)}$

определяется следующим образом:

Продукт ${\ displaystyle S ^ {k} \ times S ^ {l}}$ можно получить, прикрепив ${\ Displaystyle (к + л)}$-ячейка на сумму клина

${\ Displaystyle S ^ {k} \ vee S ^ {l}}$;

прикрепление карта является картой

${\ displaystyle S ^ {k + l-1} {\ stackrel {\ phi} {\ \ longrightarrow \}} S ^ {k} \ vee S ^ {l}.}$

Представлять ${\ displaystyle f}$ и ${\ displaystyle g}$ по картам

${\ displaystyle f \ двоеточие S ^ {k} \ to X}$

и

${\ displaystyle g \ двоеточие S ^ {l} \ to X,}$

затем составьте их клин с прикрепленной картой, как

${\ Displaystyle S ^ {к + l-1} {\ stackrel {\ phi} {\ \ longrightarrow \}} S ^ {k} \ vee S ^ {l} {\ stackrel {f \ vee g} {\ \ longrightarrow \}} X.}$

Гомотопический класс полученной карты не зависит от выбора представителей, и , таким образом , получается вполне определенный элемент

${\ displaystyle \ pi _ {k + l-1} (X).}$

Оценка

Обратите внимание, что в градации произошел сдвиг на 1 (по сравнению с индексацией гомотопических групп ), поэтому${\ Displaystyle \ pi _ {к} (Х)}$ имеет степень ${\ Displaystyle (к-1)}$; эквивалентно,${\ displaystyle L_ {k} = \ pi _ {k + 1} (X)}$(устанавливая L как градуированную квазиалгебру Ли). Таким образом${\ Displaystyle L_ {0} = \ pi _ {1} (X)}$ действует на каждый оцениваемый компонент.

Свойства

Продукт Whitehead обладает следующими свойствами:

• Билинейность. ${\ Displaystyle [е, g + h] = [f, g] + [f, h], [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$
• Градуированная симметрия. ${\ displaystyle [е, g] = (- 1) ^ {pq} [g, f], f \ in \ pi _ {p} X, g \ in \ pi _ {q} X, p, q \ geq 2}$
• Градуированная идентичность Якоби .${\ displaystyle (-1) ^ {pr} [[f, g], h] + (- 1) ^ {pq} [[g, h], f] + (- 1) ^ {rq} [[h , f], g] = 0, f \ in \ pi _ {p} X, g \ in \ pi _ {q} X, h \ in \ pi _ {r} X {\ text {with}} p, q, r \ geq 2}$

Иногда гомотопические группы пространства вместе с операцией произведения Уайтхеда называют градуированной квазилиевой алгеброй ; это доказано Uehara & Massey (1957) с помощью тройного произведения Месси .

Отношение к действию ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Если ${\ displaystyle f \ in \ pi _ {1} (X)}$, то скобка Уайтхеда связана с обычным действием ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ на ${\ displaystyle \ pi _ {k}}$ по

${\ displaystyle [f, g] = g ^ {f} -g,}$

куда ${\ displaystyle g ^ {f}}$обозначает сопряжение из${\ displaystyle g}$ по ${\ displaystyle f}$.

Для ${\ displaystyle k = 1}$, это сводится к

${\ displaystyle [f, g] = fgf ^ {- 1} g ^ {- 1},}$

который является обычным коммутатором в${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$. Это также можно увидеть, заметив, что${\ displaystyle 2}$-ячейка тора ${\ Displaystyle S ^ {1} \ раз S ^ {1}}$ прикреплен вдоль коммутатора в ${\ displaystyle 1}$-скелет ${\ Displaystyle S ^ {1} \ vee S ^ {1}}$.

Продукты Уайтхеда на H-пространстве

Для H-пространства , соединенного путями , все произведения Уайтхеда на${\ displaystyle \ pi _ {*} (X)}$исчезнуть. Согласно предыдущему пункту, это обобщение как того факта, что фундаментальные группы H-пространств абелевы, так и того, что H-пространства просты .

Приостановление

Все продукты классов Уайтхеда ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ пи _ {я} (Х)}$, ${\ displaystyle \ beta \ in \ pi _ {j} (X)}$лежат в ядре гомоморфизма надстройки${\ Displaystyle \ Sigma \ двоеточие \ pi _ {я + j-1} (X) \ to \ pi _ {i + j} (\ Sigma X)}$

Примеры

• ${\ displaystyle [\ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, \ mathrm {id} _ {S ^ {2}}] = 2 \ cdot \ eta \ in \ pi _ {3} (S ^ { 2})}$, куда ${\ displaystyle \ eta \ двоеточие S ^ {3} \ to S ^ {2}}$- это карта Хопфа .

Это можно показать, заметив, что инвариант Хопфа определяет изоморфизм${\ Displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {2}) \ cong \ mathbb {Z}}$ и явно вычисляя кольцо когомологий кофибра отображения, представляющего ${\ displaystyle [\ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, \ mathrm {id} _ {S ^ {2}}]}$. Использование конструкции Понтрягина – Тома является прямым геометрическим аргументом, использующим тот факт, что прообраз регулярной точки является копией зацепления Хопфа .

Приложения к ∞-группоидам

Напомним, что ∞-группоид ${\ Displaystyle \ Pi (X)}$ является ${\ displaystyle \ infty}$-category обобщения группоидов , который высказал предположение , чтобы кодировать данные гомотопического типа из${\ displaystyle X}$в алгебраическом формализме. Объекты - это точки в пространстве.${\ displaystyle X}$, морфизмы - это гомотопические классы путей между точками, а высшие морфизмы - высшие гомотопии этих точек.

Существование произведения Уайтхеда - основная причина, по которой определение понятия ∞-группоидов является такой сложной задачей. Было показано, что любой строгий ∞-группоид ^[1] имеет только тривиальные произведения Уайтхеда, поэтому строгие группоиды никогда не могут моделировать гомотопические типы сфер, такие как${\ Displaystyle S ^ {3}}$. ^[2]

См. Также

• Обобщенный продукт Уайтхеда
• Продукция Massey
• Скобка Тоды

Ссылки

• Уайтхед, JHC (апрель 1941), "Добавляя отношения к гомотопическим группам", Анналы математики , 2, 42 (2): 409-428, DOI : 10,2307 / 1968907 , JSTOR  1968907
• Уэхара, Хироши; Мэсси, Уильям С. (1957), "Тождество Якоби для произведений Уайтхеда", Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 361–377, MR  0091473
• Уайтхед, Джордж (июль 1946), "О продуктах в гомотопических группах", Анналы математики , 2, 47 (3): 460-475, DOI : 10,2307 / 1969085 , JSTOR  1969085
• Уайтхед, Джордж У. (1978). «X.7 Продукт Уайтхеда». Элементы теории гомотопии . Springer-Verlag . С. 472–487. ISBN 978-0387903361.