Обобщенный продукт Уайтхеда

Произведение Уайтхеда — это математическая конструкция, введенная Уайтхедом (1941) . Это был полезный инструмент для определения свойств пространств. Математическое понятие пространства включает в себя все формы, существующие в нашем трехмерном мире, такие как кривые, поверхности и объемные фигуры. Так как пространства часто представляют формулами, визуально определить их геометрические свойства обычно не представляется возможным. Некоторыми из этих свойств являются связность (есть ли пространство из одной или нескольких частей), количество отверстий в пространстве, заузленность пространства и т. д. Пространства затем изучаются путем присвоения им алгебраических конструкций. Это похоже на то, что делается в средней школе по аналитической геометрии.посредством чего некоторым кривым на плоскости (геометрическим объектам) приписываются уравнения (алгебраические конструкции). Наиболее распространенными алгебраическими конструкциями являются группы . Это такие наборы, что любые два элемента набора могут быть объединены для получения третьего элемента набора (с учетом определенных ограничений). В гомотопической теории каждому пространству X и натуральному числу p сопоставляется группа, называемая p-й гомотопической группой X. Эти группы широко изучались и дают информацию о свойствах пространства X. Затем между этими группами существуют операции ( Уайтхеда), которые предоставляют дополнительную информацию о пробелах. Это было очень важно при изучении гомотопических групп.

Несколько обобщений произведения Уайтхеда появляются в ( Blakers, Massey & (1953) ) и в других работах, но самое далеко идущее касается гомотопических множеств, то есть гомотопических классов отображений из одного пространства в другое. Обобщенное произведение Уайтхеда сопоставляет элементу α гомотопического множества [ΣA, X] и элементу β гомотопического множества [ΣB, X] элемент [α, β] гомотопического множества [Σ(A ∧ B) , X], где A, B и X — пространства, Σ — надстройка (топология) , а ∧ — смэш-произведение . Это было введено Коэном (1957) и Хилтоном (1965) , а затем подробно изучено Арковицем (1962) (см. также Бауэс (1989)) ., п. 157). Это обобщение произведения Уайтхеда, которое дает полезный метод исследования гомотопических множеств.

Пусть и и рассмотрим элементы и , где и – гомотопические классы проекционных отображений. Коммутатор