Погоня за стеками

Pursuing Stacks ( французский : À la Poursuite des Champs ) - влиятельная математическая рукопись 1983 года Александра Гротендика . ^[1] Слово « стек » относится к возможному обобщению схемы , центральному объекту изучения в алгебраической геометрии .

Среди понятий, представленных в рукописи, есть производные и тестовые категории .

Некоторые части рукописи позже были развиты в:

Жорж Мальциниотис (2005), «Теория гомотопии Гротендика» [теория гомотопии Гротендика] (PDF) , Astérisque , 301 , MR 2200690
Дени-Шарль Сисински (2006), «Предварительные пучки как модели гомотопических типов» (PDF) , Astérisque , 308 , ISBN 978-2-85629-225-9, Руководство по ремонту 2294028

Обзор рукописи [ править ]

I. Письмо Дэниелу Квиллену [ править ]

Погоня за стопками началась с письма Гротендика Дэниелу Квиллену. В этом письме он обсуждает успехи Квиллена ^[2] в основах теории гомотопии и отмечает отсутствие прогресса с тех пор. Он отмечает, что некоторые из его друзей в Бангорском университете, в том числе Ронни Браун, изучали более высокие фундаментальные группоиды для топологического пространства, и как основы для такой темы могут быть заложены и релятивизированы с использованием теории топосов, уступая место высшим зародышам . Более того, он критически относился к использованию строгих группоидов для создания этих основ, поскольку их было бы недостаточно для развития полной теории, которую он представлял. ${\ Displaystyle \ Pi _ {п} (X)}$ ${\ displaystyle X}$

Он изложил свои идеи о том, как должен выглядеть такой группоид бесконечности, и привел некоторые аксиомы, в которых схематично описывались его представления о них. По сути, это категории с объектами, стрелками, стрелками между стрелками и так далее, аналогично ситуации с высшими гомотопиями. Предполагается, что этого можно достичь, рассматривая последовательную последовательность категорий и функторов.

${\ displaystyle C_ {0} \ to C_ {1} \ to \ cdots \ to C_ {n} \ to C_ {n + 1} \ to \ cdots}$

универсальные по отношению к любому виду высших группоидов. Это позволяет индуктивно определить бесконечный группоид, который зависит от объектов и функторов включения, где категории отслеживают высшую гомотопическую информацию до уровня . Такая структура позже была названа Coherator, поскольку она отслеживает все высшие согласованности. Эта структура была формально изучена Джорджем Мальсиниотисом ^[3], добившись некоторого прогресса в создании этих основ и демонстрации гипотезы гомотопии . ${\ displaystyle C_ {0}}$ ${\ displaystyle C_ {n} \ to C_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$

II.Тестовые категории и тестовые функторы [ править ]

Мотивация Гротендика к более высоким стекам [ править ]

Фактически, описание формально аналогично и почти идентично описанию групп гомологии цепного комплекса - и поэтому может показаться, что эти стеки (более конкретно, Gr-стеки) в некотором смысле являются наиболее близкими возможное некоммутативное обобщение цепных комплексов, группы гомологий цепного комплекса становятся гомотопическими группами «некоммутативного цепного комплекса» или стека - Гротендик ^[1]^{стр. 23}

Позже это объясняется интуицией, обеспечиваемой соответствием Дольда – Кана : симплициальные абелевы группы соответствуют цепным комплексам, в то время как более высокий стек, моделируемый как симплициальная группа, должен соответствовать «неабелеву» цепному комплексу . Более того, они должны иметь абелианизацию, задаваемую гомологиями и когомологиями, которые предполагают записать как или , поскольку должен существовать ассоциированный формализм с шестью функторами ^[1]^{стр. 24} . Более того, должна существовать соответствующая теория операций Лефшеца, подобная тезису Рейно . ^[4] ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ bullet}}$ $H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })$ $\mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })$ Поскольку Гротендик предвидел альтернативную формулировку высших стеков с использованием глобулярных группоидов и заметил, что должна существовать соответствующая теория с использованием кубических множеств , он пришел к идее тестовых категорий и тестовых функторов ^[1]^{стр. 42} . По сути, тестовые категории должны быть категориями с классом слабых эквивалентностей , так что существует геометрическая реализация. $M$ $W$

$|\cdot |:M\to {\text{Spaces}}$

и слабая эквивалентность

$M[W^{-1}]\simeq {\text{Hot}}$

См. Также [ править ]

Гипотеза гомотопии
∞-группоид
Дериватор
N-группа (теория категорий)

Ссылки [ править ]

^ а б в г Гротендик. «Погоня за стеками» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 года . Проверено 17 сентября 2020 .
^ Квиллен, Daniel G. (1967). «Гомотопическая алгебра» . Конспект лекций по математике . DOI : 10.1007 / bfb0097438 . ISSN 0075-8434 .
^ Мальциниотис, Жорж. «Бесконечные группоиды Гротендика и еще одно определение бесконечных категорий» (PDF) . Архивировано 3 сентября 2020 года (PDF) .
^ Рейно, Мишель (1974). "Теории Лефшеца в когомологии фейских когерентных и эталонных когомологий. Применение в основополагающей группе" . Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 (1): 29–52. DOI : 10,24033 / asens.1260 .

Кот как закрытая модельная категория
Есть ли концептуальное объяснение того, почему «симплициальное» ведет к «теоретико-гомотопическому»?
Что особенного в категории симплекс?
Р. Браун , Истоки "преследования стопок" Александра Гротендика

Внешние ссылки [ править ]

http://ncatlab.org/nlab/show/Pursuing+Stacks
Гипотезы в книге Гротендика «Погоня за стеками»

[:0-1] а б в г Гротендик. «Погоня за стеками» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 года . Проверено 17 сентября 2020 .

[2] Квиллен, Daniel G. (1967). «Гомотопическая алгебра» . Конспект лекций по математике . DOI : 10.1007 / bfb0097438 . ISSN 0075-8434 .

[3] Мальциниотис, Жорж. «Бесконечные группоиды Гротендика и еще одно определение бесконечных категорий» (PDF) . Архивировано 3 сентября 2020 года (PDF) .

[4] Рейно, Мишель (1974). "Теории Лефшеца в когомологии фейских когерентных и эталонных когомологий. Применение в основополагающей группе" . Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 (1): 29–52. DOI : 10,24033 / asens.1260 .

[1]