Шесть операций

В математике , Гротендик шесть операций , названные в честь Александра Гротендик , является формализмом в гомологической алгебре . Первоначально она возникла из отношений в этальных когомологиях , которые возникают из морфизма схем F  : X → Y . Основная идея заключалась в том, что многие элементарные факты, связывающие когомологии на X и Yбыли формальным следствием небольшого числа аксиом. Эти аксиомы верны во многих случаях совершенно не связанными с исходным контекстом, и поэтому формальные следствия также имеют место. С тех пор было показано, что формализм шести операций применим к таким контекстам, как D -модули на алгебраических многообразиях, пучки на локально компактных топологических пространствах и мотивы.

Операции [ править ]

Операции представляют собой шесть функторов. Обычно это функторы между производными категориями, а значит, на самом деле это производные функторы слева и справа .

• прямое изображение ${\ displaystyle f _ {*}}$
• прообраз ${\ displaystyle f ^ {*}}$
• собственно (или внеочередное) прямое изображение ${\ displaystyle f_ {!}}$
• собственно (или внеочередной) прообраз ${\ displaystyle f ^ {!}}$
• внутреннее тензорное произведение
• внутренний Hom

Функторы и образуют присоединенную пару функторов , как do и . ^[1] Аналогично внутреннее тензорное произведение сопряжено слева к внутреннему Hom.${\ displaystyle f ^ {*}}$${\ displaystyle f _ {*}}$${\ displaystyle f_ {!}}$${\ displaystyle f ^ {!}}$

Шесть операций в этальных когомологиях [ править ]

Пусть f  : X → Y - морфизм схем. Морфизм f индуцирует несколько функторов. В частности, он дает сопряженные функторы f ^* и f _* между категориями пучков на X и Y и дает функтор f _! прямого имиджа с соответствующей поддержкой. В производной категории , Rf _! допускает правый сопряженный f ^!. Наконец, при работе с абелевыми пучками существует функтор тензорного произведения ⊗ и внутренний функтор Hom, и они сопряжены. Шесть операций являются соответствующими функторами производной категории: Lf ^* , Rf _* , Rf _! , е ^! , ⊗ ^L и RHom .

Предположим , что мы ограничимся категории -адическими пучков кручения, где копростое к характеристике X и на Y . В SGA 4 III Гротендик и Артин доказали, что если f гладкая относительная размерность d , то Lf ^* изоморфна f ^! (- d ) [- 2 d ] , где (- d ) обозначает d- й обратный поворот Тейта, а [−2 d ] обозначает сдвиг в степени на −2 d . Кроме того, предположим, что${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell}$f разделен и имеет конечный тип. Если g  : Y ′ → Y - другой морфизм схем, если X ′ обозначает замену базы X через g , и если f ′ и g ′ обозначают замену базы f и g на g и f соответственно, то существуют естественные изоморфизмы:

${\ displaystyle Lg ^ {*} \ circ Rf _ {!} \ to Rf '_ {!} \ circ Lg' ^ {*},}$

${\ displaystyle Rg '_ {*} \ circ f' ^ {!} \ to f ^ {!} \ circ Rg _ {*}.}$

Снова предполагая, что f разделен и имеет конечный тип, для любых объектов M в производной категории X и N в производной категории Y существуют естественные изоморфизмы:

${\ displaystyle (Rf _ {!} M) \ otimes _ {Y} N \ to Rf _ {!} (M \ otimes _ {X} Lf ^ {*} N),}$

${\ displaystyle \ operatorname {RHom} _ {Y} (Rf _ {!} M, N) \ to Rf _ {*} \ operatorname {RHom} _ {X} (M, f ^ {!} N),}$

${\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}$

Если i - замкнутое погружение Z в S с дополнительным открытым погружением j , то в производной категории есть выделенный треугольник:

${\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],}$

где первые две карты - это соответственно счет и единица пристроек. Если Z и S регулярны, то имеется изоморфизм:

${\displaystyle 1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},}$

где 1 _Z и 1 _S - единицы операций тензорного произведения (которые меняются в зависимости от рассматриваемой категории -адических торсионных пучков).${\displaystyle \ell }$

Если S регулярен и g  : X → S , и если K - обратимый объект в производной категории на S относительно ⊗ ^L , то определим D _X как функтор RHom (-, g ^! K ) . Тогда для объектов M и M ′ в производной категории на X канонические отображения:

${\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}$

являются изоморфизмами. Наконец, если f  : X → Y - морфизм S -схем, и если M и N - объекты в производных категориях X и Y , то существуют естественные изоморфизмы:

${\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}$

См. Также [ править ]

• Когерентная двойственность
• Локальная двойственность Гротендика
• Функторы изображений для пучков
• Двойственность Вердье
• Смена колец

Ссылки [ править ]

• Ласло, Ив; Ольссон, Мартин (2005). «Шесть операций над пучками на стеках Артина I: Конечные коэффициенты». arXiv : математика / 0512097 . Bibcode : 2005math ..... 12097L . Cite journal requires |journal= (help)
• Аюб, Джозеф. Шесть операций Гротендика и формализм évanescents dans le monde motivique (PDF) (Диссертация).
• Cisinski, Denis-Charles; Деглиз, Фредерик (2019). Триангулированные категории смешанных мотивов . Монографии Спрингера по математике. arXiv : 0912.2110 . DOI : 10.1007 / 978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9.
• Мебхаут, Зогман (1989). Формализм шести операций Гротендика для когерентных D _X -модулей . Travaux en Cours. т. 35. Париж: Германн. ISBN 2-7056-6049-6.

Внешние ссылки [ править ]

• шесть операций в nLab
• Что (если есть) объединяет стабильную теорию гомотопий и формализм шести функторов Гротендика?