 | Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в следующем: уравнения лучше всего представлять с использованием шаблона {{math}} или <math> нотации. ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В теории алгебраических чисел , квадратичное поле является поле алгебраических чисел K из степени два над Q , с рациональными числами . Отображение d ↦ Q ( √ d ) представляет собой взаимно однозначное соответствие из множества всех свободных от квадратов целых чисел d ≠ 0,1 до множества всех квадратичных полей. Если d > 0, соответствующее квадратичное поле называется действительным квадратичным полем , а при d <0 мнимым квадратичным полем иликомплексное квадратичное поле , соответствующее тому, является ли оно подполем поля действительных чисел .
Квадратичные поля изучались очень глубоко, первоначально как часть теории бинарных квадратичных форм . Остались нерешенными проблемы. Проблема числа классов особенно важна.
Кольцо целых чисел [ править ]
Дискриминант [ править ]
Для ненулевого квадратного свободного целого числа д , то дискриминант квадратичного поля К = Q ( √ d ) является d , если d сравнит с 1 по модулю 4, а в противном случае 4 д . Например, если d равно −1, то K - поле гауссовских рациональных чисел, а дискриминант равен −4. Причина такого различия является то , что кольцо целых чисел из K порождается 1 / 2 (1+ √ d ) в первом случае, но √ д во втором случае.
Набор дискриминантов квадратичных полей - это в точности набор фундаментальных дискриминантов .
Разложение на простые множители в идеалы [ править ]
Любой простое число р приводит к идеалу рО K в кольце целых чисел О K квадратичных полей K . В соответствии с общей теорией расщепления простых идеалов в расширениях Галуа это может быть [1]
- р является инертным
- ( p ) - простой идеал
- Фактор-кольцо - это конечное поле с p 2 элементами: O K / pO K = F p 2
- p расщепляется
- ( Р ) является произведением двух различных простых идеалов O K .
- Фактор-кольцо - это произведение O K / pO K = F p × F p .
- р имеет разветвленную
- ( Р ) представляет собой квадрат простого идеала O K .
- Фактор-кольцо содержит ненулевые нильпотентные элементы.
Третий случай происходит тогда и только тогда , когда р делит дискриминант D . Первый и второй случаи возникают, когда символ Кронекера ( D / p ) равен -1 и +1 соответственно. Например, если p - нечетное простое число, не делящее D , то p разделяется тогда и только тогда, когда D сравнимо с квадратом по модулю p . Первые два случая в определенном смысле одинаково вероятны, когда p пробегает простые числа, см. Теорему Чеботарева о плотности . [2]
Закон квадратичной взаимности подразумевает, что поведение расщепления простого числа p в квадратичном поле зависит только от p по модулю D , где D - дискриминант поля.
Группа класса [ править ]
Определение группы классов квадратичного расширения поля может быть выполнено с использованием оценки Минковского и символа Кронекера из-за конечности группы классов . [3] Квадратичное поле имеет дискриминант
так что оценка Минковского
Тогда группа классов идеалов порождается простыми идеалами, норма которых меньше . Это можно сделать, посмотрев на разложение идеалов на простые числа where [1] стр. 72 . Эти разложения можно найти с помощью теоремы Куммера-Дедекинда .
Квадратичные подполя круговых полей [ править ]
Квадратичное подполе простого кругового поля [ править ]
Классическим примером построения квадратичного поля является рассмотрение единственного квадратичного поля внутри кругового поля, порожденного примитивным корнем p -й степени из единицы, где p - простое число> 2. Единственность является следствием теории Галуа , т.е. будучи уникальной подгруппой индекса 2 в группе Галуа над Q . Как объяснялось в период Гаусса , дискриминант квадратичного поля равен p для p = 4 n + 1 и - p для p = 4 n + 3. Это также можно предсказать из достаточного разветвления.теория. Фактически p - единственное простое число, которое разветвляется в круговом поле, так что p - единственное простое число, которое может делить дискриминант квадратичного поля. Это исключает «другие» дискриминанты -4 p и 4 p в соответствующих случаях.
Другие циклотомические поля [ править ]
Если взять другие круговые поля, они будут иметь группы Галуа с дополнительным 2-кручением и, таким образом, содержат по крайней мере три квадратичных поля. В общем случае квадратичное поле дискриминанта поля D может быть получено как подполе кругового поля корней D -й степени из единицы. Это выражает тот факт, что проводник квадратичного поля является абсолютной величиной его дискриминанта, частного случая формулы дискриминанта проводника .
Порядки полей квадратичных чисел малого дискриминанта [ править ]
В следующей таблице показаны некоторые порядки малого дискриминанта квадратичных полей. Порядок максимальное из поля алгебраических чисел является кольцо целых чисел , а дискриминант максимального порядка является дискриминант поля. Дискриминант немаксимального порядка - это произведение дискриминанта соответствующего максимального порядка на квадрат определителя матрицы, которая выражает базис немаксимального порядка над базисом максимального порядка. Все эти дискриминанты могут быть определены формулой Дискриминанта поля алгебраических чисел § Определение .
Для вещественных квадратичных целочисленных колец идеальный номер класса , который измеряет отказ уникальной факторизации, приведен в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .
| Заказ | Дискриминантный | Номер класса | Единицы измерения | Комментарии |
|---|---|---|---|---|
| Z [ √ −5 ] | −20 | 2 | ± 1 | Идеальные классы (1), (2, 1+ √ −5 ) |
| Z [(1+ √ −19 ) / 2] | −19 | 1 | ± 1 | Область главных идеалов , не евклидова |
| Z [2 √ −1 ] | −16 | 1 | ± 1 | Не максимальный порядок |
| Z [(1+ √ −15 ) / 2] | −15 | 2 | ± 1 | Идеальные классы (1), (2, (1+ √ −15 ) / 2) |
| Z [ √ −3 ] | −12 | 1 | ± 1 | Не максимальный порядок |
| Z [(1+ √ −11 ) / 2] | −11 | 1 | ± 1 | Евклидово |
| Z [ √ −2 ] | −8 | 1 | ± 1 | Евклидово |
| Z [(1+ √ −7 ) / 2] | −7 | 1 | ± 1 | Клейнианские целые числа |
| Z [ √ −1 ] | −4 | 1 | ± 1, ± i циклический 4-го порядка | Гауссовские целые числа |
| Z [(1+ √ −3 ) / 2] | −3 | 1 | ± 1, (± 1 ± √ −3 ) / 2 | Целые числа Эйзенштейна |
| Z [ √ -21 ] | -84 | 4 | Группа классов нециклическая ( C 2 × C 2 ) | |
| Z [(1+ √ 5 ) / 2] | 5 | 1 | ± ((1+ √ 5 ) / 2) n (норма −1 n ) | |
| Z [ √ 2 ] | 8 | 1 | ± (1+ √ 2 ) n (норма −1 n ) | |
| Z [ √ 3 ] | 12 | 1 | ± (2+ √ 3 ) n (норма 1) | |
| Z [(1+ √ 13 ) / 2] | 13 | 1 | ± ((3+ √ 13 ) / 2) n (норма −1 n ) | |
| Z [(1+ √ 17 ) / 2] | 17 | 1 | ± (4+ √ 17 ) n (норма −1 n ) | |
| Z [ √ 5 ] | 20 | 2 | ± ( √ 5 +2) n (норма −1 n ) | Не максимальный порядок |
Некоторые из этих примеров перечислены в Артине, Алгебра (2- е изд.), §13.8.
См. Также [ править ]
- Число Эйзенштейна – Кронекера
- Число Хегнера
- Инфраструктура (теория чисел)
- Квадратичное целое число
- Квадратичный иррациональный
- Теорема Штарка – Хегнера.
- Дзета-функция Дедекинда
- Квадратично замкнутое поле
Заметки [ править ]
- ^ а б Стивенхаген. "Кольца с цифрами" (PDF) . п. 36.
- ^ Сэмюэл 1972 , стр. 76F
- ^ Штейн, Уильям. "Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход" (PDF) . С. 77–86.
Ссылки [ править ]
- Буэлл, Дункан (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1 Глава 6.
- Самуэль, Пьер (1972), Алгебраическая теория чисел (изд. В твердом переплете), Париж / Бостон: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
- Самуэль, Пьер (2008), Алгебраическая теория чисел (издание в мягкой обложке), Довер, ISBN 978-0-486-46666-8
- Стюарт, Индиана ; Талль, Д. О. (1979), алгебраическая теория чисел , Чепмен и Холл, ISBN 0-412-13840-9 Глава 3.1.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичное поле» . MathWorld .
- "Квадратичное поле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
