В математике , то проблема Гаусса число классов ( для мнимых квадратичных полей ), как это обычно понимается, является обеспечение для каждого п ≥ 1 полный список мнимых квадратичных полей (для отрицательных целых чисел d ) с номером класса n . Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса . Это также можно выразить в терминах дискриминантов . Есть вопросы, связанные с действительными квадратичными полями и поведением при.
Сложность заключается в эффективном вычислении границ: для данного дискриминанта легко вычислить номер класса, и есть несколько неэффективных нижних границ для номера класса (что означает, что они включают константу, которая не вычисляется), но эффективные границы ( и явные доказательства полноты списков) сложнее.
Оригинальные гипотезы Гаусса
Проблемы сформулированы в « Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса 1801 г. (раздел V, статьи 303 и 304). [1]
Гаусс обсуждает мнимые квадратичные поля в статье 303, формулируя первые две гипотезы, и обсуждает реальные квадратичные поля в статье 304, формулируя третью гипотезу.
- Гипотеза Гаусса (число классов стремится к бесконечности)
- Проблема числа классов Гаусса (списки номеров низкого класса)
- Для данного низкого номера класса (например, 1, 2 и 3) Гаусс дает списки мнимых квадратичных полей с данным номером класса и считает их полными.
- Бесконечно много вещественных квадратичных полей первого класса
- Гаусс предполагает, что существует бесконечно много вещественных квадратичных полей первого класса.
Исходная проблема чисел классов Гаусса для мнимых квадратичных полей значительно отличается и проще современной постановки: он ограничился четными дискриминантами и разрешил нефундаментальные дискриминанты.
Статус
- Гипотеза Гаусса
- Решено, Хайльбронн, 1934 г.
- Списки номеров низкого класса
- Класс 1: решено, Бейкер (1966), Старк (1967), Хегнер (1952).
- Класс № 2: решено, Бейкер (1971), Старк (1971) [2]
- Класс № 3: решено, Oesterlé (1985) [2]
- Номера классов от h до 100: решено, Watkins 2004 [3]
- Бесконечно много вещественных квадратичных полей первого класса
- Открыть.
Списки дискриминантов класса номер 1
Для полей мнимых квадратичных чисел (фундаментальными) дискриминантами класса номер 1 являются:
Нефундаментальные дискриминанты класса 1:
Таким образом, четные дискриминанты класса номер 1, фундаментальный и нефундаментальный (исходный вопрос Гаусса):
Современные разработки
В 1934 году Ганс Хайльбронн доказал гипотезу Гаусса. Эквивалентно, для любого заданного номера класса существует только конечное число полей мнимых квадратичных чисел с этим номером класса.
Также в 1934 году Хейльбронн и Эдвард Линфут показали, что существует не более 10 полей мнимых квадратичных чисел с классом 1 (9 известных и не более одного). Результат оказался неэффективным (см. Эффективные результаты в теории чисел ): он не давал границ на размер оставшегося поля.
В более поздних разработках случай n = 1 был впервые обсужден Куртом Хегнером с использованием модульных форм и модульных уравнений, чтобы показать, что такое поле больше не может существовать. Первоначально эта работа не была принята; только с более поздними работами Гарольда Старка и Брайана Берча (например, по теореме Старка – Хегнера и числу Хегнера ) позиция была прояснена, и работа Хегнера стала понятной. Практически одновременно, Алан Бейкер доказал , что мы теперь знаем , как теорема Бейкера о линейных формах логарифмов в алгебраических числах , которые решили проблему совершенно другим способом. Случай n = 2 был рассмотрен вскоре после этого, по крайней мере в принципе, как приложение работы Бейкера. [4]
Полный список мнимых квадратичных полей с классом номер один: с k одним из
Общий случай ждал открытия Дорической Голдфельда в 1976 году , что проблема номера класса может быть подключена к L-функциям от эллиптических кривых . [5] Это фактически свело вопрос об эффективном определении к вопросу об установлении существования кратного нуля такой L-функции. [5] С доказательством теоремы Гросса-Загьера в 1986 году полный список мнимых квадратичных полей с заданным номером класса мог быть определен конечным вычислением. Все случаи до n = 100 были рассчитаны Уоткинсом в 2004 г. [3]
Действительные квадратичные поля
Контрастный случай реальных квадратичных полей очень отличается, и известно гораздо меньше. Это потому, что в аналитическую формулу для номера класса входит не номер класса h , сам по себе, а h log ε , где ε - фундаментальная единица . Этот дополнительный фактор трудно контролировать. Вполне может быть, что класс номер 1 для вещественных квадратичных полей встречается бесконечно часто.
Эвристика Коэна – Ленстры [6] представляет собой набор более точных гипотез о структуре групп классов квадратичных полей. Для реальных полей они предсказывают, что около 75,446% полей, полученных путем сложения квадратного корня из простого числа, будут иметь номер класса 1, что согласуется с вычислениями. [7]
Смотрите также
Заметки
- ^ Проблемы числа классов Гаусса , HM Stark
- ^ a b Ирландия, K .; Розен, М. (1993), Классическое введение в современную теорию чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 358–361, ISBN. 978-0-387-97329-6
- ^ а б Уоткинс, М. (2004), Число классов мнимых квадратичных полей , Математика вычислений, 73 ., Стр 907-938, DOI : 10,1090 / S0025-5718-03-01517-5
- ↑ Бейкер (1990)
- ^ a b Гольдфельд (1976)
- ^ Коэн, гл. 5.10
- ^ Те Риле и Уильямс
Рекомендации
- Гольдфельд, Дориан (июль 1985 г.), "Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей" (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 13 (1): 23–37, DOI : 10.1090 / S0273-0979-1985-15352 -2
- Хегнера, Курт (1952), "Diophantische анализ унд Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227-253, DOI : 10.1007 / BF01174749 , МР 0053135
- те Риле, Герман; Уильямс, Хью (2003), "Новые расчеты , касающиеся Коэны-Ленстр эвристики" (PDF) , экспериментальная математика , 12 (1): 99-113, DOI : 10,1080 / 10586458.2003.10504715
- Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Берлин: Springer , ISBN 978-3-540-55640-4
- Бейкер, Алан (1990), теория трансцендентных чисел , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, Руководство по ремонту 0422171
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Проблема числа классов Гаусса" . MathWorld .