В математике , А модульное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение удовлетворяет модули , [1] в смысле модулей проблем . То есть, учитывая количество функций в пространстве модулей , модульное уравнение является уравнением, имеющим место между ними, или, другими словами, тождеством для модулей.
Чаще всего термин модульное уравнение используется в связи с проблемой модулей для эллиптических кривых . В этом случае само пространство модулей имеет размерность один. Это означает, что любые две рациональные функции F и G в функциональном поле модулярной кривой будут удовлетворять модульному уравнению P ( F , G ) = 0 с P ненулевым многочленом двух переменных над комплексными числами . При подходящем невырожденном выборе F и G уравнение P ( X ,Y ) = 0 фактически будет определять модульную кривую.
Это можно квалифицировать, сказав, что P в худшем случае будет иметь высокую степень, а определяемая им плоская кривая будет иметь особые точки ; и коэффициенты из P могут быть очень большие числа. Кроме того, «бугры» из модулей задачи, которые являются точками модульной кривым , не соответствующим добросовестных эллиптических кривых , но вырожденные случаев могут быть трудно считывать из знания P .
В этом смысле модульное уравнение становится уравнением модульной кривой . Такие уравнения впервые возникли в теории умножения эллиптических функций (геометрически n 2 -кратное накрывающее отображение двумерного тора в себя, заданное отображением x → n · x на основной группе), выраженных в терминах комплексного анализа .