Это неполный список числовых полей с номером класса 1.
Считается, что таких числовых полей бесконечно много, но это не доказано. [1]
Определение
Номер класса числового поля по определению является порядком идеальной группы классов его кольца целых чисел .
Таким образом, числовое поле имеет класс номер 1 тогда и только тогда, когда его кольцо целых чисел является основной идеальной областью (и, следовательно, уникальной областью факторизации ). Основная теорема арифметики утверждает , что Q имеет класс номер 1.
Поля квадратичных чисел
Они имеют вид K = Q ( √ d ) для целого числа d без квадратов .
Действительные квадратичные поля
K называется вещественно-квадратичным, если d > 0. K имеет номер класса 1 для следующих значений d (последовательность A003172 в OEIS ):
- 2 *, 3, 5 *, 6, 7, 11, 13 *, 14, 17 *, 19, 21, 22, 23, 29 *, 31, 33, 37 *, 38, 41 *, 43, 46, 47 , 53 *, 57, 59, 61 *, 62, 67, 69, 71, 73 *, 77, 83, 86, 89 *, 93, 94, 97 *, ... [1] [2]
(выполнить до d = 100)
*: Узкий номер класса также равен 1 (см. Соответствующую последовательность A003655 в OEIS).
Несмотря на то, что могло бы иметь место для этих небольших значений, не все простые числа, которые конгруэнтны 1 по модулю 4, появляются в этом списке, особенно поля Q ( √ d ) для d = 229 и d = 257 имеют номер класса больше чем 1 (фактически равно 3 в обоих случаях). [3] Плотность таких простых чисел, для которых Q ( √ d ) действительно имеет класс номер 1, предположительно ненулевая и фактически близка к 76%, [4] однако даже не известно, существует ли бесконечно много вещественных квадратичных поля с номером класса 1. [1]
Мнимые квадратичные поля
K имеет номер класса 1 точно для следующих отрицательных значений d :
- −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163. [1]
(По определению, все они также имеют узкий класс номер 1.)
Кубические поля
Полностью реальное кубическое поле
Первые 60 полностью реальных кубических полей (упорядоченных по дискриминанту ) имеют класс номер один. Другими словами, все кубические поля дискриминанта от 0 до 1944 (включительно) имеют класс номер один. Следующее полностью вещественное кубическое поле (дискриминанта 1957 г.) имеет класс номер два. Полиномы, определяющие вполне вещественные кубические поля с дискриминантами менее 500 с классом номер один, следующие: [5]
- х 3 - х 2 - 2 х + 1 (дискриминант 49)
- x 3 - 3 x - 1 (дискриминант 81)
- х 3 - х 2 - 3 х + 1 (дискриминант 148)
- х 3 - х 2 - 4 х - 1 (дискриминант 169)
- x 3 - 4 x - 1 (дискриминант 229)
- х 3 - х 2 - 4 х + 3 (дискриминант 257)
- х 3 - х 2 - 4 х + 2 (дискриминант 316)
- х 3 - х 2 - 4 х + 1 (дискриминант 321)
- х 3 - х 2 - 6 х + 7 (дискриминант 361)
- х 3 - х 2 - 5 х - 1 (дискриминант 404)
- х 3 - х 2 - 5 х + 4 (дискриминант 469)
- x 3 - 5 x - 1 (дискриминант 473)
Сложное кубическое поле
Все комплексные кубические поля с дискриминантом больше -500 имеют класс номер один, за исключением полей с дискриминантами -283, -331 и -491, которые имеют номер класса 2. Полиномы, определяющие комплексные кубические поля, которые имеют класс номер один и дискриминант больше, чем −500 составляют: [5]
- x 3 - x 2 + 1 (дискриминант −23)
- x 3 + x - 1 (дискриминант −31)
- x 3 - x 2 + x + 1 (дискриминант −44)
- x 3 + 2 x - 1 (дискриминант −59)
- x 3 - 2 x - 2 (дискриминант −76)
- x 3 - x 2 + x - 2 (дискриминант −83)
- x 3 - x 2 + 2 x + 1 (дискриминант −87)
- x 3 - x - 2 (дискриминант −104)
- x 3 - x 2 + 3 x - 2 (дискриминант −107)
- х 3 - 2 (дискриминант -108)
- х 3 - х 2 - 2 (дискриминант -116)
- x 3 + 3 x - 1 (дискриминант −135)
- x 3 - x 2 + x + 2 (дискриминант −139)
- x 3 + 2 x - 2 (дискриминант −140)
- х 3 - х 2 - 2 х - 2 (дискриминант -152)
- x 3 - x 2 - x + 3 (дискриминант −172)
- x 3 - x 2 + 2 x - 3 (дискриминант −175)
- x 3 - x 2 + 4 x - 1 (дискриминант −199)
- x 3 - x 2 + 2 x + 2 (дискриминант −200)
- x 3 - x 2 + x - 3 (дискриминант −204)
- x 3 - 2 x - 3 (дискриминант −211)
- x 3 - x 2 + 4 x - 2 (дискриминант −212)
- x 3 + 3 x - 2 (дискриминант −216)
- x 3 - x 2 + 3 (дискриминант −231)
- x 3 - x - 3 (дискриминант −239)
- x 3 - 3 (дискриминант −243)
- x 3 + x - 6 (дискриминант −244)
- x 3 + x - 3 (дискриминант −247)
- x 3 - x 2 - 3 (дискриминант −255)
- х 3 - х 2 - 3 х + 5 (дискриминант -268)
- x 3 - x 2 - 3 x - 3 (дискриминант −300)
- x 3 - x 2 + 3 x + 2 (дискриминант −307)
- x 3 - 3 x - 4 (дискриминант −324)
- х 3 - х 2 - 2 х - 3 (дискриминант -327)
- x 3 - x 2 + 4 x + 1 (дискриминант −335)
- x 3 - x 2 - x + 4 (дискриминант −339)
- x 3 + 3 x - 3 (дискриминант −351)
- x 3 - x 2 + x + 7 (дискриминант −356)
- x 3 + 4 x - 2 (дискриминант −364)
- x 3 - x 2 + 2 x + 3 (дискриминант −367)
- x 3 - x 2 + x - 4 (дискриминант −379)
- x 3 - x 2 + 5 x - 2 (дискриминант −411)
- x 3 - 4 x - 5 (дискриминант −419)
- x 3 - x 2 + 8 (дискриминант −424)
- x 3 - x - 8 (дискриминант −431)
- x 3 + x - 4 (дискриминант −436)
- х 3 - х 2 - 2 х + 5 (дискриминант -439)
- x 3 + 2 x - 8 (дискриминант −440)
- х 3 - х 2 - 5 х + 8 (дискриминант -451)
- x 3 + 3 x - 8 (дискриминант −459)
- x 3 - x 2 + 5 x - 3 (дискриминант −460)
- x 3 - 5 x - 6 (дискриминант −472)
- x 3 - x 2 + 4 x + 2 (дискриминант −484)
- x 3 - x 2 + 3 x + 3 (дискриминант −492)
- x 3 + 4 x - 3 (дискриминант −499)
Циклотомические поля
Ниже приводится полный список n, для которых поле Q (ζ n ) имеет класс номер 1: [6]
- С 1 по 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90. [7]
С другой стороны, максимальные вещественные подполя Q (cos (2π / 2 n )) двухстепенных круговых полей Q (ζ 2 n ) (где n - положительное целое число), как известно, имеют номер класса 1 для n≤ 8, [8] и предполагается, что они имеют класс номер 1 для всех n . Вебер показал, что эти поля имеют нечетный номер класса. В 2009 году Фукуда и Комацу показали, что числа классов этих полей не имеют простого множителя меньше 10 7 , [9] и позже улучшили эту оценку до 10 9 . [10] Эти поля являются п -х слоев кругового Z 2 -продолжения Q . Также в 2009 году Морисава показал, что числа классов слоев кругового Z 3 -расширения Q не имеют простого множителя меньше 10 4 . [11] Коутс поднял вопрос о том, имеет ли для всех простых чисел p каждый слой кругового Z p -расширения Q номер класса 1. [ цитата необходима ]
Поля CM
Случай мнимых квадратичных полей и круговых полей одновременно обобщает случай CM-поля K , то есть полностью мнимое квадратичное расширение вполне реального поля . В 1974 году Гарольд Старк предположил, что существует конечное число полей CM класса номер 1. [12] Он показал, что существует конечное число полей фиксированной степени. Вскоре после этого Эндрю Одлызко показал, что существует только конечное число CM-полей Галуа класса номер 1. [13] В 2001 году В. Кумар Мурти показал, что из всех CM-полей, у которых замыкание Галуа имеет разрешимую группу Галуа, только конечное число имеет номер класса 1. [14]
Полный список из 172 абелевых полей КМ класса номер 1 был определен в начале 1990-х Кеном Ямамурой и доступен на страницах 915–919 его статьи по этому вопросу. [15] Объединение этого списка с работами Стефана Лубутена и Риотаро Окадзаки дает полный список квадратичных полей CM класса номер 1. [16]
Смотрите также
Заметки
- ^ a b c d Глава I, раздел 6, с. 37 г. Нойкирх 1999 г.
- ^ Дембеле, Лассин (2005). "Явные вычисления модулярных форм Гильберта на" (PDF) . Exp Math. , 14 (4): 457-466. DOI : 10,1080 / 10586458.2005.10128939 . ISSN 1058-6458 . Zbl 1152,11328 .
- ^ Х. Коэн, Курс вычислительной алгебраической теории чисел , GTM 138, Springer Verlag (1993), приложение B2, стр.507
- ^ Х. Коэн и Х. У. Ленстра, Эвристика групп классов числовых полей, Теория чисел , Нордвейкерхаут, 1983, Proc. 13-е Journées Arithmétiques, изд. H. Jager, Lect. Заметки по математике. 1068, Springer-Verlag, 1984, стр. 33–62.
- ^ a b Таблицы доступны в исходном коде Pari
- ^ Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля . Тексты для выпускников по математике. 83 (2-е изд.). Springer-Verlag . Теорема 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047 .
- ^ Обратите внимание, что значения n, конгруэнтные 2 по модулю 4, являются избыточными, поскольку Q (ζ 2n ) = Q (ζ n ), когда n нечетно.
- ^ JC Miller, Номера классов полностью реальных полей и приложения к проблеме чисел классов Вебера, https://arxiv.org/abs/1405.1094
- ^ Фукуда, Такаши; Komatsu, Keiichi (2009). "Задача Вебера о числе классов в циклотомической-расширение ». Опыт математики. . 18 (2): 213-222. DOI : 10,1080 / 10586458.2009.10128896 . ISSN 1058-6458 . М. Р. 2549691 . Zbl +1189,11033 .
- ^ Фукуда, Такаши; Komatsu, Keiichi (2011). "Задача Вебера о числе классов в циклотомической-расширение . III» . Int J. Теория чисел . 7 (6): 1627-1635. DOI : 10,1142 / S1793042111004782 . ISSN 1793-7310 . М. Р. 2835816 . Zbl +1226,11119 .
- ^ Морисава, Такаяки (2009). "Проблема числа классов в круговороте Z 3 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {3}} -расширение Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} " . Токио Дж Математика . 32 (2): 549-558. DOI : 10,3836 / TJM / 1264170249 . ISSN 0387-3870 . М. Р. 2589962 . Zbl +1205,11116 .
- ^ Старк, Гарольд (1974), «Некоторые эффективные случаи теоремы Брауэра – Зигеля», Inventiones Mathematicae , 23 (2): 135–152, Bibcode : 1974InMat..23..135S , doi : 10.1007 / bf01405166 , hdl : 10338 .dmlcz / 120573
- ^ Одлызко, Эндрю (1975), "Некоторые аналитические оценки числа классов и дискриминантов", Inventiones Mathematicae , 29 (3): 275–286, Bibcode : 1975InMat..29..275O , doi : 10.1007 / bf01389854
- ^ Мурти, В. Кумар (2001), "Числа классов СМ-полей с решаемой нормальным замыканием", Compositio Mathematica , 127 (3): 273-287, DOI : 10,1023 / A: 1017589432526
- ^ Ямамура, Кен (1994), "Определение полей мнимых абелевых чисел с классом номер один", Математика вычислений , 62 (206): 899–921, Bibcode : 1994MaCom..62..899Y , doi : 10.2307 / 2153549 , JSTOR 2153549
- ^ Лабутен, Стефан; Окадзаки, Риотаро (1994), "Определение всех ненормальных CM-полей четвертой степени и всех неабелевых нормальных октических CM-полей с классом номер один", Acta Arithmetica , 67 (1): 47–62, DOI : 10.4064 / aa-67-1-47-62
Рекомендации
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .