В математике , и особенно в алгебре , формальный ряд - это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от любого понятия сходимости , и ею можно манипулировать с помощью обычных алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. Д.) ).
Формальный степенной ряд представляет собой особый вид формальных рядов, которые можно рассматривать как обобщение на многочлен , где число слагаемых разрешено быть бесконечным, без требований сходимости. Таким образом, ряд может больше не представлять функцию своей переменной, а просто формальную последовательность коэффициентов, в отличие от степенного ряда , который определяет функцию, принимая числовые значения для переменной в пределах радиуса сходимости. В формальных степенных рядах степени переменной используются только в качестве держателей позиций для коэффициентов, так что коэффициент приэто пятый член в последовательности. В комбинаторике метод генерации функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств , например, позволяя краткие выражения для рекурсивно определенных последовательностей независимо от того, может ли рекурсия быть решена явно. В более общем смысле, формальные степенные ряды могут включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольце .
Кольца формальных степенных рядов являются полными локальными кольцами , и это позволяет использовать методы, подобные исчислению, в чисто алгебраических рамках алгебраической геометрии и коммутативной алгебры . Они во многом аналогичны целым p- адическим числам , которые можно определить как формальные ряды степеней p .
Вступление
Формальный степенной ряд можно условно представить как объект, похожий на многочлен , но с бесконечно большим числом членов. В качестве альтернативы, для тех, кто знаком со степенными рядами (или рядами Тейлора ), можно думать о формальных степенных рядах как о степенных рядах, в которых мы игнорируем вопросы сходимости , не предполагая, что переменная X обозначает какое-либо числовое значение (даже не неизвестное значение. ). Например, рассмотрим серию
Если бы мы изучали его как степенной ряд, его свойства включали бы, например, то, что его радиус сходимости равен 1. Однако, как формальный степенной ряд, мы можем полностью игнорировать это; все, что имеет значение, - это последовательность коэффициентов [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Другими словами, формальный степенной ряд - это объект, который просто записывает последовательность коэффициентов. Вполне приемлемо рассматривать формальный степенной ряд с факториалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения X .
Арифметика формальных степенных рядов выполняется просто при условии, что ряды являются многочленами. Например, если
затем мы добавляем A и B по очереди:
Мы можем умножать формальные степенные ряды, опять же, просто рассматривая их как многочлены (см., В частности, произведение Коши ):
Обратите внимание , что каждый коэффициент в продукте АВ зависит только от конечного числа коэффициентов A и B . Например, член X 5 задается следующим образом:
По этой причине можно умножать формальные степенные ряды, не беспокоясь об обычных вопросах абсолютной , условной и равномерной сходимости, которые возникают при работе со степенными рядами в контексте анализа .
После того, как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные инверсии следующим образом. Мультипликативный обратный к формальному степенному ряду A является формальным степенным рядом C таким, что AC = 1, при условии, что такой формальный степенной ряд существует. Оказывается, что если A имеет мультипликативный обратный, он единственен, и мы обозначаем его A −1 . Теперь мы можем определить деление формального степенного ряда, определив B / A как произведение BA −1 , при условии, что существует обратный к A. Например, можно использовать приведенное выше определение умножения, чтобы проверить знакомую формулу
Важной операцией над формальным степенным рядом является извлечение коэффициентов. В своей основной форме оператор извлечения коэффициентов применяется к формальному степенному ряду в одной переменной извлекает коэффициент -я степень переменной, так что а также . Другие примеры включают
Точно так же многие другие операции, которые выполняются с многочленами, могут быть расширены до настройки формального степенного ряда, как описано ниже.
Кольцо формальных степенных рядов
Если рассматривать набор всех формальных степенных рядов в X с коэффициентами в коммутативном кольце R , элементы этого набора вместе составляют другое кольцо, которое записываетсяи называется кольцом формальных степенных рядов по переменной X над R .
Определение кольца формальных степенных рядов
Можно охарактеризовать абстрактно как завершение этого многочлена кольцаоснащен определенной метрикой . Это автоматически даетструктура топологического кольца (и даже полного метрического пространства). Но общая конструкция пополнения метрического пространства более сложна, чем то, что здесь требуется, и сделает формальные степенные ряды более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать более явно и отдельно определим кольцевую структуру и топологическую структуру следующим образом.
Структура кольца
В комплекте, можно построить как множество всех бесконечных последовательностей элементов , индексированные натуральными числами (включая 0). Обозначение последовательности, член которой по индексу является от , сложение двух таких последовательностей определяется как
и умножение на
Этот тип продукта называется произведением Коши двух последовательностей коэффициентов и представляет собой своего рода дискретную свертку . С помощью этих операций становится коммутативным кольцом с нулевым элементом и мультипликативная идентичность .
Фактически, произведение является тем же самым, что используется для определения произведения многочленов от одного неопределенного, что предполагает использование аналогичных обозначений. Один встраивает в отправив любую (константу) к последовательности и обозначает последовательность от ; то, используя приведенные выше определения, каждая последовательность только с конечным числом ненулевых членов может быть выражена в терминах этих специальных элементов как
это в точности многочлены от . При этом вполне естественно и удобно обозначить общую последовательность формальным выражением , даже если последнее не является выражением, образованным операциями сложения и умножения, определенными выше (из которых могут быть построены только конечные суммы). Это условное обозначение позволяет переформулировать приведенные выше определения как
а также
что довольно удобно, но нужно помнить о различии между формальным суммированием (простое соглашение) и фактическим сложением.
Топологическая структура
Условно оговорив, что
( 1 )
хотелось бы интерпретировать правую часть как четко определенное бесконечное суммирование. С этой целью понятие сходимости вопределена и топология напостроен. Есть несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии.
- Мы можем дать топология произведения , где каждая копиязадана дискретная топология .
- Мы можем дать I-адической топологии , где идеал, порожденный , состоящий из всех последовательностей, у которых первый член равно нулю.
- Желаемую топологию можно также получить из следующей метрики . Расстояние между отдельными последовательностями определяется как
- где наименьшее натуральное число такое, что ; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно, равно нулю.
Неформально две последовательности а также становятся все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их условий полностью совпадают. Формально последовательность частных сумм некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степеникоэффициент стабилизируется: есть точка, за которой все последующие частичные суммы имеют одинаковый коэффициент. Очевидно, что это верно для правой части ( 1 ), независимо от значений, поскольку включение срока для дает последнее (и фактически единственное) изменение коэффициента при . Также очевидно, что предел последовательности частичных сумм равен левой части.
Эта топологическая структура вместе с описанными выше кольцевыми операциями образует топологическое кольцо. Это называется кольцом формальных степенных рядов над и обозначается . Топология обладает тем полезным свойством, что бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда последовательность его членов сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень встречается только в конечном числе членов.
Топологическая структура позволяет гораздо более гибко использовать бесконечные суммирования. Например, правило умножения можно просто переформулировать как
поскольку только конечное число членов справа влияет на любой фиксированный . Бесконечные произведения также определяются топологической структурой; видно, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда последовательность его множителей сходится к 1.
Альтернативные топологии
Приведенная выше топология является наилучшей топологией, для которой
всегда сходится как суммирование к формальному степенному ряду, обозначенному тем же выражением, и часто бывает достаточно придать смысл бесконечным суммам и произведениям или другим видам ограничений, которые желают использовать для обозначения конкретных формальных степенных рядов. Однако иногда может случиться так, что кто-то захочет использовать более грубую топологию, так что некоторые выражения станут сходящимися, которые в противном случае расходились бы. Это особенно актуально, когда базовое кольцо уже идет с топологией, отличной от дискретной, например, если это также кольцо формальных степенных рядов.
В кольце формальных степенных рядов топология приведенной выше конструкции относится только к неопределенным , поскольку поставленная топология была заменена дискретной топологией при определении топологии всего кольца. Так
сходится (а его сумму можно записать как ); тем не мение
будет считаться расходящимся, поскольку каждый член влияет на коэффициент . Эта асимметрия исчезает, если степенной ряд звенит в дается топология продукта, где каждая копия дается его топология как кольцо формальных степенных рядов, а не дискретная топология. В этой топологии последовательность элементов сходится, если коэффициент при каждой степени сходится к формальному степенному ряду по , более слабое состояние, чем полностью стабилизирующееся. Например, с этой топологией во втором примере, приведенном выше, коэффициентсходится к , поэтому все суммирование сходится к .
Этот способ определения топологии на самом деле является стандартным для повторяющихся построений колец формальных степенных рядов и дает ту же топологию, которую можно получить, взяв формальные степенные ряды сразу по всем неопределенным. В приведенном выше примере это означало бы создание причем здесь последовательность сходится тогда и только тогда, когда коэффициент при каждом мономе стабилизируется. Эта топология, которая также является-адическая топология, где идеал, порожденный а также , по-прежнему обладает тем свойством, что суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0.
Тот же принцип можно использовать для сближения других расходящихся пределов. Например, в Лимит
не существует, поэтому, в частности, он не сходится к
Это потому, что для коэффициент из не стабилизируется как . Однако он сходится в обычной топологии, а фактически к коэффициенту из . Следовательно, если дать топология продукта где топология - обычная топология, а не дискретная, то указанный предел сходился бы к . Этот более снисходительный подход, однако, не является стандартом при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он приведет к соображениям сходимости, которые столь же тонки, как и при анализе , в то время как философия формальных степенных рядов, напротив, делает вопросы сходимости столь же тривиальными, как они вполне могут быть. С помощью этой топологии было бы не быть так , что суммирование сходится тогда и только тогда , когда его члены стремятся к 0.
Универсальная собственность
Кольцо можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Если коммутативная ассоциативная алгебра над , если это идеал так что -адическая топология на завершено, и если является элементом , то существует единственный со следующими свойствами:
- является гомоморфизм -алгебр
- непрерывно
- .
Операции над формальными степенными рядами
Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для создания новых степенных рядов. [1] [2] Помимо операций с кольцевой структурой, определенных выше, мы имеем следующее.
Силовая серия возведена в могущество
Для любого натурального числа n имеем
где
(Эта формула может использоваться только в том случае, если m и a 0 обратимы в кольце коэффициентов.)
В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени хорошо определены по крайней мере для ряда f с постоянным членом, равным 1. В этом случаеможет быть определен либо композицией с биномиальным рядом (1+ x ) α , либо композицией с экспоненциальным и логарифмическим рядом, или как решение дифференциального уравнения с постоянным членом 1, три определения эквивалентны. Правила исчисления а также легко следовать.
Мультипликативный обратный
Сериал
обратима в тогда и только тогда, когда его постоянный коэффициент обратима в . Это условие необходимо по следующей причине: если мы предположим, что имеет обратный тогда постоянный член из - постоянный член тождественного ряда, т.е. он равен 1. Это условие также является достаточным; мы можем вычислить коэффициенты обратного ряда через явную рекурсивную формулу
Важным частным случаем является то, что формула геометрического ряда справедлива в:
Если является полем, то ряд обратим тогда и только тогда, когда постоянный член не равен нулю, то есть тогда и только тогда, когда ряд не делится на . Это значит, что- кольцо дискретного нормирования с униформизирующим параметром.
Разделение
Вычисление частного
предполагая, что знаменатель обратим (то есть обратима в кольце скаляров), может быть выполнено как произведение и обратное , или напрямую приравнивая коэффициенты в :
Извлечение коэффициентов
Оператор извлечения коэффициентов применяется к формальному степенному ряду
в X написано
и извлекает коэффициент при X m , так что
Состав
Учитывая формальный степенной ряд
можно составить композицию
где коэффициенты c n определяются путем "разложения" степеней f ( X ):
Здесь сумма распространяется на все ( k , j ) с а также с участием
Более точное описание этих коэффициентов дает формула Фаа ди Бруно , по крайней мере, в случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0 .
Состав действителен только при не имеет постоянного члена , так что каждый зависит только от конечного числа коэффициентов при а также . Другими словами, серия длясходится в топологии о.
Пример
Предположим, что кольцо имеет характеристику 0, и ненулевые целые числа обратимы в . Если обозначить через формальный степенной ряд
тогда выражение
имеет смысл как формальный степенной ряд. Однако заявление
не является допустимым применением операции композиции для формальных степенных рядов. Скорее, это сбивает с толку понятия конвергенции в и сближение в ; действительно, кольцо может даже не содержать числа с соответствующими свойствами.
Композиция инверсия
Всякий раз, когда формальная серия
имеет f 0 = 0 и f 1 является обратимым элементом R , существует ряд
то есть композиция обратная из, что означает, что составление с участием дает ряд, представляющий тождественную функцию . Коэффициенты примогут быть найдены рекурсивно, используя приведенную выше формулу для коэффициентов композиции, приравнивая их к коэффициентам идентичности композиции X (то есть 1 на степени 1 и 0 на каждой степени больше 1). В случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0, формула обращения Лагранжа (обсуждается ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов g , а также коэффициентов (мультипликативных) степеней g .
Формальная дифференциация
Учитывая формальный степенной ряд
определим его формальную производную , обозначенную Df или f ′, как
Символ D называется оператором формального дифференцирования . Это определение просто имитирует почленное дифференцирование многочлена.
Эта операция R - линейная :
для любых a , b в R и любых f , g вКроме того, формальная производная обладает многими свойствами обычной производной исчисления. Например, действует правило продукта :
и правило цепочки также работает:
всякий раз, когда определены соответствующие составы серий (см. выше в разделе « Состав серий» ).
Таким образом, в этом отношении формальные степенные ряды ведут себя как ряды Тейлора . Действительно, для определенного выше f мы находим, что
где D k обозначает k- ю формальную производную (то есть результат формального дифференцирования k раз).
Формальная антидифференцировка
Если кольцо с нулевой характеристикой, и ненулевые целые числа обратимы в , то дан формальный степенной ряд
мы определяем его формальную первообразную или формально неопределенный интеграл как
для любой постоянной .
Эта операция R - линейная :
для любых a , b в R и любых f , g вКроме того, формальная первообразная имеет многие свойства обычной первообразной исчисления. Например, формальная первообразная является правой обратной по отношению к формальной производной:
для любой .
Характеристики
Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов
является ассоциативная алгебра над который содержит кольцо многочленов над ; полиномы соответствуют последовательностям, заканчивающимся нулями.
Радикал Джекобсона изявляется идеальным , порожденной и радикал Якобсона ; это подразумевается критерием обратимости элемента, рассмотренным выше.
В максимальные идеалы из все возникают из тех, кто в следующим образом: идеальный из максимальна тогда и только тогда, когда является максимальным идеалом а также порождается как идеал а также .
Некоторые алгебраические свойства наследуются :
- если является локальным кольцом , то и(с множеством неединиц - единственный максимальный идеал),
- если является нетерово , то так будет(версия теоремы Гильберта о базисе ),
- если является областью целостности , то также, а также
- если это поле , то- кольцо дискретного оценивания .
Топологические свойства кольца формальных степенных рядов
Метрическое пространство является полным .
Кольцо является компактным тогда и только тогда , когда R является конечным . Это следует из теоремы Тихонова и характеризации топологии на как топология продукта.
Приготовление Вейерштрасса
Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полном локальном кольце удовлетворяет подготовительной теореме Вейерштрасса .
Приложения
Формальные степенные ряды могут использоваться для решения повторяющихся задач, встречающихся в теории чисел и комбинаторике. Пример поиска выражения в замкнутой форме для чисел Фибоначчи см. В статье Примеры генерирующих функций .
Можно использовать формальные степенные ряды для доказательства некоторых соотношений, знакомых из анализа в чисто алгебраической обстановке. Рассмотрим, например, следующие элементы:
Тогда можно показать, что
Последний действующий на ринге
Для поля K кольцочасто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K в алгебре.
Интерпретация формальных степенных рядов как функций
В математическом анализе каждый сходящийся степенной ряд определяет функцию со значениями в виде действительных или комплексных чисел. Формальный степенной ряд над некоторыми специальными кольцами также может быть интерпретирован как функции, но один должен быть осторожным с доменом и областью значений . Позволять
и пусть S является коммутативной ассоциативной алгеброй над R , I является идеалом в S , так что я-адическая топология на S является полной, и х является элементом I . Определять:
Этот ряд гарантированно сходится в S с учетом сделанных выше предположений относительно x . Кроме того, у нас есть
а также
В отличие от добросовестных функций, эти формулы не являются определениями, но должны быть доказаны.
Поскольку топология на является ( X ) -адической топологией иявляется полным, мы можем, в частности, применять степенные ряды к другим степенным рядам, при условии, что аргументы не имеют постоянных коэффициентов (так что они принадлежат идеалу ( X )): f (0), f ( X 2 - X ) и f ((1 - X ) −1 - 1) все корректно определены для любого формального степенного ряда
С помощью этого формализма мы можем дать явную формулу для мультипликативного обратного степенного ряда f , постоянный коэффициент которого a = f (0) обратим в R :
Если формальный степенной ряд g с g (0) = 0 неявно задается уравнением
где f - известный степенной ряд с f (0) = 0, то коэффициенты при g могут быть явно вычислены с использованием формулы обращения Лагранжа .
Обобщения
Формальная серия Laurent
В формальных рядов Лорана над кольцомопределены аналогично формальному степенному ряду, за исключением того, что мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени. То есть это серии, которые можно записать как
для некоторого целого N , так что существует только конечное число отрицательных n с. (Это отличается от классического ряда Лорана из комплексного анализа .) Для ненулевого формального ряда Лорана, минимальное целого числа такой, что называется порядок из и обозначается (Порядок нулевой серии равен .)
Умножение такого ряда можно определить. Действительно, аналогично определению для формальных степенных рядов, коэффициент при X k двух рядов с соответствующими последовательностями коэффициентов а также является
Формальные ряды Лорана образуют кольцо формальных рядов Лорана над, обозначаемый . [а] Это равно локализации из относительно множества положительных степеней . Еслиэто поле , тона самом деле является полем, которое в качестве альтернативы может быть получено как поле дробей области целостности .
Как с кольцом формального степенного ряда, кольцо формальных рядов Лорана можно наделить структурой топологического кольца, введя метрику
Формальное дифференцирование формальных рядов Лорана можно определить естественным (почленным) способом. А именно, формальная производная формального ряда Лорана выше
Формальный остаток
Предположить, что - поле характеристики 0. Тогда отображение
это - вывод , удовлетворяющий
Последнее показывает, что коэффициент в представляет особый интерес; он называется формальным остатком и обозначен . Карта
является -линейный, и по вышеизложенному наблюдению имеет точную последовательность
Некоторые правила исчисления . Как вполне прямое следствие приведенного выше определения и правил формального вывода, для любого
- я.
- II.
- iii.
- iv. если
- v.
Свойство (i) является частью точной последовательности, указанной выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к. Свойство (iii): любое можно записать в виде , с участием а также : тогда подразумевает обратима в откуда Свойство (iv): Поскольку мы можем написать с участием . Вследствие этого,и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определения.
Формула обращения Лагранжа
Как было сказано выше, любой формальный ряд с f 0 = 0 и f 1 ≠ 0 имеет композицию, обратнуюИмеет место следующее соотношение между коэффициентами при g n и f - k ("Формула обращения Лагранжа »):
В частности, для n = 1 и всех k ≥ 1
Поскольку доказательство формулы обращения Лагранжа представляет собой очень короткое вычисление, стоит сообщить об этом здесь. Отмечая, мы можем применить приведенные выше правила исчисления, в решающей степени Правило (iv) заменяя , получить:
Обобщения. Можно заметить, что вышеприведенное вычисление может быть просто повторено в более общих настройках, чем K (( X )): обобщение формулы инверсии Лагранжа уже доступно, работающее в-модули где α - комплексный показатель. Как следствие, если f и g такие же, как указано выше, с, мы можем связать комплексные степени f / X и g / X : точно, если α и β ненулевые комплексные числа с отрицательной целой суммой, тогда
Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексных степеней функции Ламберта .
Ряд степеней в нескольких переменных
Формальный степенной ряд от любого числа неопределенных (даже бесконечного) может быть определен. Если I - индексное множество, а X I - множество неопределенных X i для i ∈ I , то моном X α - это любое конечное произведение элементов X I (повторения разрешены); формальный степенной ряд в X I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением множества одночленов X α в соответствующий коэффициент c α и обозначается. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается и ему дана кольцевая структура, определяя
а также
Топология
Топология на такова, что последовательность его элементов сходится только в том случае, если для каждого монома X α стабилизируется соответствующий коэффициент. Если I конечно, то это J -адическая топология, где J - идеалпорожденная все в неизвестных X I . Это неверно, если I бесконечно. Например, если тогда последовательность с участием не сходится относительно какой-либо J -адической топологии на R , но, очевидно, для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется.
Как отмечалось выше, топология на повторяющемся кольце формальных степенных рядов типа как правило , выбирают таким образом , что он становится изоморфным как топологическое кольцо к
Операции
Все операции, определенные для серий с одной переменной, могут быть распространены на случай нескольких переменных.
- Ряд обратим тогда и только тогда , когда его свободный член обратим в R .
- Композиция f ( g ( X )) двух серий f и g определена, если f является рядом с одним неопределенным, а постоянный член g равен нулю. Для ряда f с несколькими неопределенными значениями аналогичным образом может быть определена форма «композиции» с таким количеством отдельных рядов вместо g, сколько имеется неопределенных.
В случае формальной производной теперь есть отдельные операторы частной производной , которые дифференцируются по каждой из неопределенностей. Все они ездят друг с другом на работу.
Универсальная собственность
В случае нескольких переменных универсальное свойство, характеризующее становится следующим. Если S - коммутативная ассоциативная алгебра над R , если I - идеал S такой, что I -адическая топология на S полна, и если x 1 , ..., x r - элементы I , то существует единственный карта со следующими свойствами:
- Φ - гомоморфизм R -алгебр
- Φ непрерывна
- Φ ( X i ) = x i для i = 1, ..., r .
Некоммутирующие переменные
Случай нескольких переменных может быть дополнительно обобщен, если взять некоммутирующие переменные X i для i ∈ I , где I - индексное множество, а затем моном X α - любое слово в X I ; формальный степенной ряд в X I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением множества одночленов X α в соответствующий коэффициент c α и обозначается. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается R « X I », и ему задается кольцевая структура путем определения поточечного добавления.
и умножение на
где · обозначает объединение слов. Эти формальных степенных рядов над R образуют Магнуса кольцо над R . [3] [4]
На полукольце
Учитывая алфавит и полукольцо . Формальный степенной ряд над поддерживается на языке обозначается . Он состоит из всех отображений, где это свободный моноид , порожденный непустым множеством.
Элементы можно записать в виде формальных сумм
где обозначает значение на слово . Элементы называются коэффициентами при .
Для поддержка это набор
Серия, в которой каждый коэффициент либо или же называется характеристическим рядом его носителя.
Подмножество состоящий из всех серий с конечным носителем, обозначается и называется многочленами.
Для а также , сумма определяется
Произведение (Коши) определяется
Произведение Адамара определяется
И произведения на скаляр а также от
- а также , соответственно.
С помощью этих операций а также полукольца, где это пустое слово в .
Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов в теоретической информатике , когда коэффициенты серии принимают вес пути с меткой в автоматах. [5]
Замена индекса, установленного упорядоченной абелевой группой
Предполагать упорядоченная абелева группа, то есть абелева группа с полным порядком уважая добавление группы, так что если и только если для всех . Пусть я - упорядоченное подмножество, что означает, что I не содержит бесконечной убывающей цепочки. Рассмотрим множество, состоящее из
для всех таких я , с в коммутативном кольце , где мы предполагаем, что для любого набора индексов, если все равны нулю, то сумма равна нулю. потом кольцо формальных степенных рядов на ; из-за того, что набор индексации должен быть хорошо упорядочен, продукт четко определен, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, которые отличаются на ноль, являются одинаковыми. Иногда обозначения используется для обозначения . [6]
Различные свойства трансфер в . Если это поле, значит, тоже . Если это упорядоченное поле, мы можем заказать путем установки любого элемента, имеющего тот же знак, что и его ведущий коэффициент, определяемый как наименьший элемент индексного набора I, связанный с ненулевым коэффициентом. Наконец, еслиявляется делимой группой иэто реальное замкнутое поле , то - настоящее замкнутое поле, а если является алгебраически замкнуто , то и.
Эта теория принадлежит Гансу Хану , который также показал, что можно получить подполя, когда количество (ненулевых) членов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.
- Ряды Белла используются для изучения свойств мультипликативных арифметических функций.
- Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальных степенных рядов.
- Ряды Пюизе являются расширением формальных рядов Лорана, позволяя использовать дробные показатели
- Рациональная серия
Смотрите также
- Кольцо ограниченного степенного ряда
Заметки
- ^ Для каждого ненулевого формального ряда Лорана порядок является целым числом (то есть степени членов ограничены снизу). Но кольцо содержит серию всех заказов.
Рекомендации
- ^ Gradshteyn, Израил Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015 г.) [октябрь 2014 г.]. «0,313». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. стр. 18. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 . (Также несколько предыдущих изданий.)
- ^ Нивен, Иван (октябрь 1969). «Формальная силовая серия». Американский математический ежемесячник . 76 (8): 871–889. DOI : 10.1080 / 00029890.1969.12000359 .
- ^ Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е изд. 1-го изд.). Springer-Verlag . п. 167. ISBN. 978-3-540-63003-6. Zbl 0819.11044 .
- ^ Моран, Зигфрид (1983). Математическая теория узлов и кос: Введение . Математические исследования Северной Голландии. 82 . Эльзевир. п. 211. ISBN. 978-0-444-86714-8. Zbl 0528.57001 .
- ^ Droste, М., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , стр. 12
- ^ Шамседдин, Ходр; Берц, Мартин (2010). «Анализ на месторождении Леви-Чивита: краткий обзор» (PDF) . Современная математика . 508 : 215–237. DOI : 10,1090 / conm / 508/10002 . ISBN 9780821847404.
- Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. 137 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250,68007 .
- Николя Бурбаки : Алгебра , IV, §4. Springer-Verlag 1988.
дальнейшее чтение
- В. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В Дж. Розенберге и А. Саломаа, редакторах, Справочник формальных языков, том 1, глава 9, страницы 609–677. Спрингер, Берлин, 1997 г., ISBN 3-540-60420-0
- Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1