Септическое уравнение

График многочлена степени 7 с 7 действительными корнями (пересечениями оси x ) и 6 критическими точками . В зависимости от количества и вертикального расположения минимумов и максимумов септик может иметь 7, 5, 3 или 1 действительный корень с учетом их множественности; количество сложных не действительных корней равно 7 минус количество действительных корней.

В алгебре , А уравнение септического является уравнением вида

${\ displaystyle ax ^ {7} + bx ^ {6} + cx ^ {5} + dx ^ {4} + ex ^ {3} + fx ^ {2} + gx + h = 0, \,}$

где a ≠ 0 .

Функция септического является функцией вида

${\displaystyle f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,}$

где a ≠ 0 . Другими словами, это многочлен от степени семь. Если a = 0 , то f является секстической функцией ( b ≠ 0 ), пятой функцией ( b = 0, c 0 ) и т. Д.

Уравнение можно получить из функции, установив f ( x ) = 0 .

Эти коэффициенты , Ь , с , д , е , е , г , ч могут быть либо целые числа , рациональные числа , действительные числа , комплексные числа или, в более общем случае , члены любой области .

Поскольку они имеют нечетную степень, септические функции при отображении на графике выглядят похожими на квинтические или кубические , за исключением того, что они могут иметь дополнительные локальные максимумы и локальные минимумы (до трех максимумов и трех минимумов). Производная функции септической является секстикой функции .

Решаемые септики [ править ]

Некоторые уравнения седьмой степени можно решить , разложив на радикалы , но другие септики - нет. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, которые положили начало теории Галуа . Приведем пример неприводимого но решаемой септик, можно обобщить разрешима Муавра квинтика получить,

${\displaystyle x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}$,

где вспомогательное уравнение

${\displaystyle y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,}$.

Это означает, что септик получается путем исключения u и v между x = u + v , uv + α = 0 и u ⁷ + v ⁷ + β = 0 .

Отсюда следует, что семь корней септика даны

${\displaystyle x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}$

где ω _k - любой из семи седьмых корней из единицы . Группа Галуа этого септика является максимальной разрешимой группой порядка 42. Ее легко обобщить на любые другие степени k , не обязательно простые.

Еще одна разрешимая семья:

${\displaystyle x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,}$

члены которой появляются в базе данных числовых полей Клунера . Его дискриминант является

${\displaystyle \Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,}$

Группа Галуа этих септиков - это диэдральная группа порядка 14.

Общее септическое уравнение можно решить с помощью переменных или симметричных групп Галуа A ₇ или S ₇ . ^[1] Такие уравнения требуют гиперэллиптических функций и связанных с ними тета - функции из рода 3 для их решения. ^[1] Однако эти уравнения не изучались специально математиками девятнадцатого века, изучающими решения алгебраических уравнений, потому что решения шестнадцатеричных уравнений уже были на пределе своих вычислительных возможностей без компьютеров. ^[1]

Септики - это уравнения низшего порядка, для которых неочевидно, что их решения могут быть получены путем наложения непрерывных функций двух переменных. 13-я проблема Гильберта заключалась в предположении, что это невозможно в общем случае для уравнений седьмой степени. Владимир Арнольд решил эту проблему в 1957 году, продемонстрировав, что это всегда возможно. ^[2] Однако сам Арнольд считал, что настоящая проблема Гильберта состоит в том, могут ли для септиков их решения быть получены путем наложения алгебраических функций двух переменных (проблема все еще остается открытой). ^[3]

Группы Галуа [ править ]

• Септические уравнения, решаемые радикалами, имеют группу Галуа, которая является либо циклической группой порядка 7, либо группой диэдра порядка 14, либо метациклической группой порядка 21 или 42. ^[1]
• Группа Галуа L (3, 2) (порядка 168) образована перестановками 7 меток вершин, которые сохраняют 7 «прямых» в плоскости Фано . ^[1] Септические уравнения с этой группой Галуа L (3, 2) требуют для своего решения эллиптических, но не гиперэллиптических функций . ^[1]
• В противном случае группа Галуа септика является либо альтернативной группой порядка 2520, либо симметричной группой порядка 5040.

Септическое уравнение для квадрата площади циклического пятиугольника или шестиугольника [ править ]

Квадрат площади циклического пятиугольника является корнем септического уравнения, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. ^[4] То же самое и с квадратом площади циклического шестиугольника . ^[5]

См. Также [ править ]

• Кубическая функция
• Четвертичная функция
• Квинтическая функция
• Шестическое уравнение
• Лаборатория септического

Ссылки [ править ]