В алгебре , секстика (или Hexic ) многочлен является многочленом от степени шесть. Секстика уравнение представляет собой полиномиальное уравнение степени шесть-то есть, уравнение , левая сторона является секстика многочлен, у которого правая сторона равна нулю. Точнее, имеет вид:
где a ≠ 0, а коэффициенты a , b , c , d , e , f , g могут быть целыми числами , рациональными числами , действительными числами , комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля .
Секстика функция является функцией определяется секстике полинома. Поскольку они имеют четную степень, шестнадцатеричные функции кажутся похожими на четвертые при отображении на графике, за исключением того, что каждая из них может иметь дополнительный локальный максимум и локальный минимум. Производная из секстики функции является квинтиком функции .
Поскольку секстическая функция определяется полиномом с четной степенью, она имеет такой же бесконечный предел, когда аргумент переходит в положительную или отрицательную бесконечность . Если старший коэффициент a положителен, функция возрастает до положительной бесконечности с обеих сторон и, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогичным образом, если a отрицательно, секстическая функция уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум.
Решаемые секстики [ править ]
Некоторые уравнения шестой степени, такие как ax 6 + dx 3 + g = 0 , могут быть решены путем разложения на радикалы, но другие sextics не могут. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, которые положили начало теории Галуа . [1]
Из теории Галуа следует, что шестое уравнение разрешимо в терминах радикалов тогда и только тогда, когда его группа Галуа содержится либо в группе порядка 48, которая стабилизирует разбиение множества корней на три подмножества из двух корней, либо в группа порядка 72, которая стабилизирует разбиение множества корней на два подмножества по три корня.
Существуют формулы для проверки любого случая и, если уравнение разрешимо, вычисляют корни в терминах радикалов. [2]
Общее шестнадцатеричное уравнение может быть решено в терминах функций Кампе де Ферие . [1] Более ограниченный класс секстики может быть решен в терминах обобщенных гипергеометрических функций от одной переменной, используя подход Феликса Клейна к решению уравнения пятой степени . [1]
Примеры [ править ]
Кривая Ватта , возникшая в контексте ранних работ над паровой машиной , представляет собой секстику двух переменных.
Один из методов решения кубического уравнения включает преобразование переменных для получения шестого уравнения, имеющего члены только степеней 6, 3 и 0, которое может быть решено как квадратное уравнение в кубе переменной.
Этимология [ править ]
Описатель «sextic » происходит от латинского префикса 6 или 6-го («sexa-») и греческого суффикса, означающего «относящийся к» («-tic»). Гораздо менее распространенный «гексик» использует греческий как для своего префикса («шестнадцатеричный-»), так и для своего суффикса («-ic»). В обоих случаях префикс указывает на степень функции. Часто такие функции называют просто «функциями 6-й степени».
См. Также [ править ]
- Секст Кэли
- Кубическая функция
- Септическое уравнение
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Mathworld - Шестическое уравнение
- ^ TR Hagedorn, Общие формулы для решения разрешимых шестнадцатеричных уравнений , J. Algebra 233 (2000), 704-757
