В математике , одночлен , грубо говоря, многочлен , который имеет только один член . Можно встретить два определения монома:
- Моном, также называемый степенным произведением , представляет собой произведение степеней переменных с неотрицательными целыми показателями или, другими словами, произведение переменных, возможно, с повторениями. Например,является мономом. Константа 1 является мономом, равным пустому произведению и x 0 для любой переменной x . Если рассматривается только одна переменная x , это означает, что моном является либо 1, либо степенью x n числа x , где n - положительное целое число. Если рассматривать несколько переменных, скажем, тогда каждому может быть дана экспонента, так что любой моном имеет вид с участием неотрицательные целые числа (обратите внимание, что любой показатель степени 0 делает соответствующий множитель равным 1).
- Моном - это моном в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициентом монома. Моном в первом смысле - это частный случай монома во втором смысле, где коэффициент равен 1. Например, в этой интерпретации а также являются мономами (во втором примере переменные а коэффициент - комплексное число ).
В контексте полиномов Лорана и ряд Лорана , показатели одночлена могут быть отрицательными, так и в контексте серии Пюизё , показатели могут быть рациональными числами .
Поскольку слово «одночлен», как и слово «многочлен», происходит от позднего латинского слова «binomium» (бином), при изменении префикса «bi-» (два на латыни) одночлен теоретически следует называть «монономиальный». «Мономиальное» - это обморок по гаплологии «монономиального». [1]
Сравнение двух определений
При любом определении набор одночленов - это подмножество всех многочленов, замкнутое относительно умножения.
Можно найти оба варианта использования этого понятия, и во многих случаях различие просто игнорируется, см., Например, примеры первого [2] и второго [3] значения. В неформальных дискуссиях различие редко бывает важным, и наблюдается тенденция к более широкому второму значению. Однако при изучении структуры многочленов часто однозначно требуется понятие с первым значением. Это, например , случай при рассмотрении мономиальных основ из в кольце многочленов или одночлен упорядочения на этой основе. Аргументом в пользу первого значения является также то, что для обозначения этих значений не существует другого очевидного понятия (термин «произведение мощности» используется, в частности, когда одночлен используется с первым значением, но он не делает отсутствие констант ясно либо), а член понятия полинома однозначно совпадает со вторым смыслом монома.
Остальная часть этой статьи предполагает первое значение слова «мономиальный».
Мономиальный базис
Наиболее очевидный факт о одночленах (первый смысл) в том , что любой многочленом является линейной комбинацией из них, так что они образуют базис в векторном пространстве всех многочленов называются мономиальный базис - факт постоянного неявного использования в математике.
Число
Число одночленов степени в Переменные это число multicombinations из элементы, выбранные среди переменные (переменная может быть выбрана более одного раза, но порядок не имеет значения), который задается коэффициентом мультимножества . Это выражение также может быть дано в виде биномиального коэффициента , в качестве полиномиального выражения в, Или с помощью растущего факториала мощности из:
Последние формы особенно полезны, когда фиксируется количество переменных, а степень варьируется. Из этих выражений видно, что при фиксированном n количество одночленов степени d является полиномиальным выражением от степени с ведущим коэффициентом .
Например, количество одночленов от трех переменных () Степени г является; эти числа образуют последовательность 1, 3, 6, 10, 15, ... треугольных чисел .
Ряд Гильберта представляет собой компактный способ выразить число одночленов данной степени: число одночленов степени в переменные - коэффициент степени из формальных степенных рядов расширения
Число одночленов степени не выше д в п переменных. Это следует из взаимно однозначного соответствия мономов степени в переменных и одночленов степени не выше в переменные, заключающиеся в замене на 1 дополнительной переменной.
Обозначение
Обозначения для одночленов постоянно требуются в таких областях, как уравнения в частных производных . Если используемые переменные образуют индексированное семейство, например, , , ..., тогда полезно использовать многоиндексную нотацию : если мы напишем
мы можем определить
для компактности.
Степень
Степень монома определяется как сумма всех показателей степени переменных, включая неявные показатели степени 1 для переменных, которые появляются без показателя степени; например, в примере из предыдущего раздела степень равна. Степеньравно 1 + 1 + 2 = 4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень −7 равна 0.
Степень монома иногда называют порядком, в основном в контексте ряда. Ее также называют общей степенью, когда необходимо отличить ее от степени по одной из переменных.
Мономиальная степень лежит в основе теории одномерных и многомерных многочленов. В явном виде он используется для определения степени полинома и понятия однородного полинома , а также для градуированных мономиальных порядков, используемых при формулировании и вычислении базисов Грёбнера . Неявно он используется при группировке членов ряда Тейлора по нескольким переменным .
Геометрия
В алгебраической геометрии многообразия, определяемые мономиальными уравнениямидля некоторого набора α обладают особыми свойствами однородности. Это может быть сформулировано на языке алгебраических групп , с точкой зрения существования группы действий А.Н. алгебраического тор (эквивалентно мультипликативной группой диагональных матриц ). Эта область изучается под названием вложения торов .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Американский словарь наследия английского языка , 1969.
- ^ Кокс, Дэвид; Джон Литтл; Донал О'Ши (1998). Использование алгебраической геометрии . Springer Verlag. стр. 1 . ISBN 0-387-98487-9.
- ^ "Моном" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]