Обобщенная матрица перестановок

В математике , А обобщенная матрица перестановок (или мономиальная матрица ) представляет собой матрица с той же схемой ненулевой как матрицы перестановок , т.е. существует ровно один элемент отличен от нуля в каждой строке и каждый столбце. В отличие от матрицы перестановок, где ненулевой элемент должен быть равен 1, в обобщенной матрице перестановки ненулевой элемент может быть любым ненулевым значением. Примером обобщенной матрицы перестановок является

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}.}$

Структура [ править ]

Обратимая матрица является обобщенной матрицей перестановок тогда и только тогда , когда она может быть записана в виде произведения обратимого диагональной матрицы D и (неявно обратимы ) матрица перестановок Р : т.е.

${\ displaystyle A = DP.}$

Структура группы [ править ]

Набор из п  ×  п обобщенных матриц перестановок с элементами в поле F образует подгруппу из общей линейной группы GL ( п , F ), в которой группа невырожденных диагональных матриц Δ ( п , Р ) образует нормальную подгруппу . Действительно, матрицы обобщенных перестановок являются нормализатором диагональных матриц, что означает, что матрицы обобщенных перестановок являются наибольшей подгруппой в GL ( n , F), в которых диагональные матрицы нормальны.

Абстрактная группа обобщенных матриц перестановок является сплетение из F ^× и S _н . Конкретно это означает, что это полупрямое произведение ∆ ( n , F ) на симметрическую группу S _n :

S _n ⋉ Δ ( n , F ),

где S _п действует перестановкой координат и диагональных матриц А ( п , Р ) являются изоморфными к п -кратной продукта ( F ^× ) ^н .

Чтобы быть точным, обобщенные матрицы перестановок являются (точным) линейным представлением этого абстрактного сплетения: реализация абстрактной группы как подгруппы матриц.

Подгруппы [ править ]

• Подгруппа, в которой все элементы равны 1, - это в точности матрицы перестановок , которые изоморфны симметрической группе.
• Подгруппа, в которой все элементы равны ± 1, представляет собой матрицы перестановок со знаком , которая является группой гипероктаэдра .
• Подгруппа , где записи являются т - й корни из единицы изоморфна обобщенной симметрической группы .${\ displaystyle \ mu _ {m}}$
• Подгруппа диагональных матриц абелева , нормальная и максимальная абелева подгруппа. Фактор - группа является симметрической группой, и эта конструкцией является на самом деле группой Вейля общей линейной группы: диагональные матрицы являются максимальным тором в общей линейной группе (и их собственный центратор ), обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором этого тора, а фактор - группа Вейля.${\ Displaystyle N (T) / Z (T) = N (T) / T \ cong S_ {n}}$

Свойства [ править ]

• Если невырожденная матрица и ее обратная матрица являются неотрицательными матрицами (т. Е. Матрицами с неотрицательными элементами), то матрица является обобщенной матрицей перестановок.
• Определитель обобщенной матрицы перестановок задается формулой

${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$

где это знак от перестановки связаны с и диагональные элементы .${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$${\displaystyle D}$

Обобщения [ править ]

Можно сделать дальнейшие обобщения, позволив записям располагаться в кольце , а не в поле. В том случае, если требуется, чтобы ненулевые элементы были единицами в кольце, снова получается группа. С другой стороны, если требуется, чтобы ненулевые элементы были только ненулевыми, но не обязательно обратимыми, этот набор матриц вместо этого образует полугруппу .

Можно также схематично разрешить ненулевым элементам находиться в группе G, с пониманием того, что умножение матриц будет включать только умножение одной пары элементов группы, а не «добавление» элементов группы. Это злоупотребление обозначениями , поскольку элемент умножаемых матриц должен допускать умножение и сложение, но это наводящее на размышление понятие для (формально правильной) абстрактной группы (сплетения группы G на симметрическую группу).${\displaystyle G\wr S_{n}}$

Группа перестановок со знаком [ править ]

Подписана матрица перестановок представляет собой обобщенную матрицу перестановок , чьи ненулевые элементы равны ± 1, и являются целым числом обобщенной матрицы перестановок с целыми обратны.

Свойства [ править ]

• Это группа Кокстера , и в ней есть порядок .${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}n!}$
• Это группа симметрии гиперкуба и (двойственно) кросс-многогранника .
• Его индекс 2 подгруппой матриц с определителем , равным лежащим в их основе (без знака) перестановки является группой Коксетера и является группой симметрии demihypercube .${\displaystyle D_{n}}$
• Это подгруппа ортогональной группы .

Приложения [ править ]

Мономиальные представления [ править ]

Мономиальные матрицы встречаются в теории представлений в контексте мономиальных представлений . Мономиальное представление группы G - это линейное представление ρ  : G → GL ( n , F ) группы G (здесь F - определяющее поле представления) такое, что образ ρ ( G ) является подгруппой группы мономов матрицы.

Ссылки [ править ]

• Джойнер, Дэвид (2008). Приключения в теории групп. Кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е обновленное и исправленное изд.). Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl  1221,00013 .