Группа C 2 имеет порядок 8, как показано в этом круге. | Группа C 3 (O h ) имеет порядок 48, как показано этими областями отражения сферического треугольника . |
В математике , А гипероктаэдральная группа представляет собой важный тип группы , которая может быть реализована как группа симметрии одного гиперкуба или одного поперечного многогранника . Он был назван Альфредом Янгом в 1930 году. Группы этого типа идентифицируются параметром n - размерностью гиперкуба.
Как группа Кокстера она имеет тип B n = C n , а как группа Вейля она связана с ортогональными группами в нечетных размерностях. В качестве венка это где является симметрической группой степени п . Как группа перестановок , группа представляет собой знаковую симметрическую группу перестановок π либо множества {- n , - n + 1, ..., −1, 1, 2, ..., n }, либо множества { - n , - n + 1, ..., n } такие, что π ( i ) = - π (- i ) для всех i . Как группу матриц ее можно описать как группу ортогональных матриц размера n × n , все элементы которой являются целыми числами . Теория представлений гипероктаэдрической группы была описана ( Янг, 1930 ) согласно ( Кербер, 1971 , стр. 2).
В трех измерениях гипероктаэдрическая группа известна как O × S 2, где O ≅ S 4 - это группа октаэдра , а S 2 - симметричная группа (здесь циклическая группа ) порядка 2. Геометрические фигуры в трех измерениях с этой группой симметрии имеют октаэдрическую симметрию , названную в честь правильного октаэдра , или 3- ортоплекс . В четырех измерениях это называется гексадекахорной симметрией , после правильной 16-клеточной симметрии , или 4- ортоплексом . В двух измерениях структура группы гипероктаэдра представляет собой абстрактную группу диэдра восьмого порядка , описывающую симметрию квадрата или 2-ортоплекса.
По размеру
Группы гипероктаэдра могут называться B n , скобочная запись, или граф группы Кокстера:
п | Группа симметрии | B n | Обозначение Кокстера | Заказ | Зеркала | Состав | Связанные регулярные многогранники | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | D 4 (* 4 •) | В 2 | [4] | 2 2 2! = 8 | 4 | Квадрат , восьмиугольник | ||
3 | О ч ( * 432 ) | В 3 | [4,3] | 2 3 3! = 48 | 3 + 6 | Куб , октаэдр | ||
4 | ± 1 / 6 [OXO] 0,2 [1] (О / В; О / В) * [2] | В 4 | [4,3,3] | 2 4 4! = 384 | 4 + 12 | Тессеракт , 16-элементный , 24-элементный | ||
5 | В 5 | [4,3,3,3] | 2 5 5! = 3840 | 5 + 20 | 5-куб , 5-ортоплекс | |||
6 | В 6 | [4,3 4 ] | 2 6 6! = 46080 | 6 + 30 | 6-куб , 6-ортоплекс | |||
... | ||||||||
п | B n | [4,3 н-2 ] | ... | 2 н н ! = (2 п ) !! | п 2 | гиперкуб , ортоплекс |
Подгруппы
Существует заметная подгруппа индекса два, соответствующая группе Кокстера D n и симметриям полугиперкуба . Рассматриваемые как сплетение, есть два естественных отображения из группы гипероктаэдра в циклическую группу порядка 2: одно отображение происходит от «умножения знаков всех элементов» (в n копиях), и одно отображение, исходящее из четности перестановки. Их умножение дает третью карту. Ядром первой карты является группа КокстераВ терминах знаковых перестановок , рассматриваемых как матрицы, эта третья карта является просто определителем, в то время как первые две соответствуют «умножению ненулевых записей» и «четности базовой (беззнаковой) перестановки», которые обычно не имеют смысла. для матриц, но в случае совпадения с сплетением.
Ядра этих трех отображений представляют собой все три подгруппы индекса два в группе гипероктаэдра, как обсуждается в разделе H 1 : абелианизация ниже, и их пересечение является производной подгруппой индекса 4 (фактор 4-группы Клейна), что соответствует вращательные симметрии полугиперкуба.
В другом направлении центром является подгруппа скалярных матриц {± 1}; геометрически выделение по этому признаку соответствует переходу к проективной ортогональной группе .
В размерности 2 эти группы полностью описывают группу гипероктаэдра, которая является группой диэдра Dih 4 порядка 8 и является расширением 2.V (4-группы посредством циклической группы порядка 2). В общем, переход к подфактору (производная подгруппа, центр мод) - это группа симметрии проективного полугиперкуба.
Гипероктаэдральная подгруппа, D п размерность:
п | Группа симметрии | D n | Обозначение Кокстера | Заказ | Зеркала | Связанные многогранники | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | D 2 (* 2 •) | D 2 | [2] = [] × [] | 4 | 2 | Прямоугольник | |
3 | Т д ( * 332 ) | D 3 | [3,3] | 24 | 6 | тетраэдр | |
4 | ± 1 / 3 [Тх Т ] 0,2 [3] (Т / В; Т / В) - * [4] | D 4 | [3 1,1,1 ] | 192 | 12 | 16 ячеек | |
5 | D 5 | [3 2,1,1 ] | 1920 г. | 20 | 5-полукуб | ||
6 | D 6 | [3 3,1,1 ] | 23040 | 30 | 6-полукуб | ||
... п | D n | [3 п-3,1,1 ] | ... | 2 п-1 п! | п (п-1) | полугиперкуб |
Хиральный гипер-октаэдрической симметрии , является прямой подгруппой, индекс 2 гипер-октаэдрической симметрии.
п | Группа симметрии | Обозначение Кокстера | Заказ | |
---|---|---|---|---|
2 | С 4 (4 •) | [4] + | 4 | |
3 | О ( 432 ) | [4,3] + | 24 | |
4 | 1 / 6 [O × O] 0,2 [5] (О / В; О / В) [6] | [4,3,3] + | 192 | |
5 | [4,3,3,3] + | 1920 г. | ||
6 | [4,3,3,3,3] + | 23040 | ||
... п | [4, (3 n-2 ) + ] | ... | 2 п-1 п! |
Другая известная подгруппа индекса 2 может быть названа гиперпиритоэдральной симметрией по размерности: [7] Эти группы имеют n ортогональных зеркал в n -мерностях.
п | Группа симметрии | Обозначение Кокстера | Заказ | Зеркала | Связанные многогранники | |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | D 2 (* 2 •) | [4,1 + ] = [2] | 4 | 2 | Прямоугольник | |
3 | Т ч ( 3 * 2 ) | [4,3 + ] | 24 | 3 | курносый октаэдр | |
4 | ± 1 / 3 [Т × Т] 0,2 [8] (Т / В; Т / В) * [9] | [4, (3,3) + ] | 192 | 4 | курносый 24-элементный | |
5 | [4, (3,3,3) + ] | 1920 г. | 5 | |||
6 | [4, (3,3,3,3) + ] | 23040 | 6 | |||
... п | [4, (3 n-2 ) + ] | ... | 2 п-1 п! | п |
Гомология
Группа гомология из группы гипероктаэдральной аналогична симметрической группы, и стабилизация экспозиции, в смысле стабильной гомотопической теории .
H 1 : абелианизация
Первая группа гомологий, которая согласуется с абелианизацией , стабилизируется на четырехгруппе Клейна и задается формулой:
Это легко увидеть прямо сейчас: элементы имеют порядок 2 (который не является пустым для ), и все сопряженные, как и транспозиции в (который не пуст для ), и это два отдельных класса. Эти элементы порождают группу, поэтому единственные нетривиальные абелианизации относятся к 2-группам, и любой из этих классов может быть независимо отправлен впоскольку это два отдельных класса. Карты явно заданы как «произведение знаков всех элементов» (в n экземплярах) и знак перестановки. Их умножение дает третью нетривиальную карту ( определитель матрицы, которая отправляет оба этих класса в), и вместе с тривиальным отображением они образуют 4-группу.
H 2 : множители Шура
Вторые группы гомологии, известные как множители Шура , были вычислены в ( Ihara & Yokonuma 1965 ).
Они есть:
Заметки
- ^ Конвей, 2003
- ↑ Дю Валь, 1964, # 47
- ^ Конвей, 2003
- ↑ Дю Валь, 1964, # 42
- ^ Конвей, 2003
- Перейти ↑ Du Val, 1964, # 27
- ↑ Coxeter (1999), p.121, Essay 5 Правильные косые многогранники
- ^ Конвей, 2003
- ↑ Дю Валь, 1964, # 41
Рекомендации
- Миллер, Г. А. (1918). «Группы, образованные специальными матрицами» . Бык. Являюсь. Математика. Soc . 24 (4): 203–206. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1918-03043-7 .
- Патрик дю Валь , омографии, кватернионы и вращения (1964)
- Ихара, Син-ичиро; Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений", Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 11 : 155–171, ISSN 0040-8980 , MR 0190232
- Кербер, Адальберт (1971), Представления групп подстановок. I , Конспект лекций по математике, 240 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0067943 , ISBN 978-3-540-05693-5, MR 0325752
- Кербер, Адальберт (1975), Представления групп перестановок. II , Конспект лекций по математике, 495 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0085740 , ISBN 978-3-540-07535-6, Руководство по ремонту 0409624
- Молодой, Альфред (1930), "О количественном ЗАМЕСТИТЕЛЬНОМ анализе 5" , Труды Лондонского математического общества , серия 2, 31 : 273-288, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-31.1.273 , ISSN 0024-6115 , СУЛ 56.0135 .02
- HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и соотношения для дискретных групп 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 p92, p122
- Бааке, М. (1984). «Строение и представления гипероктаэдрической группы». J. Math. Phys . 25 (11): 3171. DOI : 10,1063 / 1,526087 .
- Стембридж, Джон Р. (1992). «Проективные представления группы гипероктаэдра». J. Алгебра . 145 (2): 396–453. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90110-8 . ЛВП : 2027,42 / 30235 .
- Кокстер , Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8
- Джон Хортон Конвей , О кватернионах и октонионах (2003)