В геометрии , A точечная группа в четырех измерений является изометрия группа в четырех измерений , что оставляет происхождение фиксированного, или соответственно, изометрия группу в 3-мерной сфере .
История четырехмерных групп
- 1889 Эдуард Гурса , Sur les ортогональные замены и ле регулярные подразделения пространства , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (стр. 9–102, стр. 80–81 тетраэдры), тетраэдр Гурса
- 1951, AC Hurley, Конечные группы вращений и классы кристаллов в четырех измерениях , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 47, вып. 04, с. 650 [1]
- 1962 А.Л. Маккей Браве Решетки в четырехмерном пространстве [2]
- 1964 Патрик дю Валь , гомографии, кватернионы и вращения , основанные на кватернионах 4D точечные группы
- 1975 Ян Мозжимас, Анджей Солецки, точечные группы R4 , Отчеты по математической физике, том 7, выпуск 3, с. 363-394 [3]
- 1978 Х. Браун, Р. Бюлов, Дж. Нойбюзер, Х. Вондратчек и Х. Цассенхаус, Кристаллографические группы четырехмерного пространства. [4]
- 1982 Н. П. Уорнер, Группы симметрии регулярных мозаик S2 и S3 [5]
- 1985 EJW Whittaker, Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов
- 1985 HSM Coxeter , Regular and Semi-Regular Polytopes II , Coxeter notation for 4D Точечные группы
- 2003 Джон Конвей и Смит, О кватернионах и октонионах , Завершенные четырехмерные точечные группы на основе кватернионов
- 2018 NW Johnson Geometries and Transformations , Глава 11,12,13, Полные полихорические группы, стр. 249, дуопризматические группы стр. 269
Изометрии точечной симметрии 4D
Существуют четыре основных изометрии 4-мерной точечной симметрии : симметрия отражения , вращательной симметрии , rotoreflection и двойного вращения .
Обозначения для групп
Группы точек в этой статье даны в нотации Кокстера , основанной на группах Кокстера , с пометками для расширенных групп и подгрупп. [6] Нотация Кокстера имеет прямое соответствие диаграмме Кокстера, например [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3 , 3] и [p, 2, q]. Эти группы связывают 3-сферу в идентичные гиперсферические тетраэдрические области. Количество доменов - это порядок группы. Число зеркал для неприводимой группы равно nh / 2 , где h - число Кокстера группы Кокстера , n - размерность (4). [7]
Для перекрестных ссылок здесь также приведены кватернионные нотации Патрика дю Вала (1964) [8] и Джона Конвея (2003). [9] Нотация Конвея позволяет вычислить порядок группы как произведение элементов с порядками групп киральных полиэдров: (T = 12, O = 24, I = 60). В обозначениях Конвея префикс (±) означает центральную инверсию , а суффикс (.2) означает зеркальную симметрию. Точно так же в нотации Дюваля есть надстрочный знак звездочки (*), обозначающий зеркальную симметрию.
Группы инволюции
Существует пять инволюционных групп: без симметрии [] + , симметрии отражения [], 2-кратной вращательной симметрии [2] + , 2-кратной вращательной симметрии [2 + , 2 + ] и симметрии центральной точки [2 + , 2 + , 2 + ] как 2-кратное двойное вращение .
Группы Кокстера 4 ранга
Polychoric группа является одной из пяти групп симметрии из 4-мерных регулярных многогранников . Есть также три многогранные призматические группы и бесконечное множество дуопризматических групп. Каждая группа определяется фундаментальной областью тетраэдра Гурса, ограниченной зеркальными плоскостями. В двугранных углах между зеркалами определяют порядок двугранной симметрии . Диаграмма Кокстера-Дынкина представляет собой график , где узлы представляют собой зеркальные плоскости, а ребра называются ветвями, и метили по их двугранному углу порядка между зеркалами.
Термин polychoron (множественное число polychora , прилагательное polychoric ), от греческих корней полей ( «много») и Choros ( «номер» или «пространство») и выступает [10] с помощью Нормана Джонсона и Джорджем Ольшевским в контексте единой polychora (4-многогранники) и связанные с ними 4-мерные группы симметрии. [11]
B 4 можно разложить на 2 ортогональные группы, 4 A 1 и D 4 :
|
F 4 можно разложить на 2 ортогональные группы D 4 :
|
B 3 × A 1 можно разложить на ортогональные группы, 4 A 1 и D 3 :
|
Группы Кокстера ранга 4 позволяют набору из 4 зеркал покрывать 4-пространство и делят 3-сферу на тетраэдрические фундаментальные области. Группы Кокстера нижнего ранга могут ограничивать только осоэдрические или осотопные фундаментальные области на 3-сфере.
Подобно группам трехмерных полиэдров , имена данных четырехмерных полихорических групп построены на основе греческих префиксов количества ячеек соответствующих треугольных правильных многогранников. [12] Расширенные симметрии существуют в однородных полихорах с симметричными кольцевыми узорами в рамках конструкции диаграммы Кокстера . Киральные симметрии существуют в чередующихся однородных полихорах.
Только неприводимые группы имеют числа Кокстера, но дуопризматические группы [p, 2, p] могут быть удвоены до [[p, 2, p]] путем добавления двукратного вращения к фундаментальной области, и это дает эффективное число Кокстера 2 p , например, группа [4,2,4] и ее полная симметрия B 4 , [4,3,3] группа с числом Кокстера 8.
Группа Вейля | Конвей Кватернион | Абстрактная структура | Диаграмма Кокстера | Обозначение Кокстера | Заказ | Подгруппа коммутатора | Число Кокстера (h) | Зеркала (м) | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Полные полихорические группы | ||||||||||||
А 4 | + 1 / 60 [I × I] .2 1 | S 5 | [3,3,3] | 120 | [3,3,3] + | 5 | 10 | |||||
D 4 | ± 1/3 [Т × Т] .2 | 1/2. 2 S 4 | [3 1,1,1 ] | 192 | [3 1,1,1 ] + | 6 | 12 | |||||
В 4 | ± 1/6 [O × O] .2 | 2 S 4 = S 2 ≀S 4 | [4,3,3] | 384 | 8 | 4 | 12 | |||||
П 4 | ± 1/2 [O × O] .2 3 | 3. 2 S 4 | [3,4,3] | 1152 | [3 + , 4,3 + ] | 12 | 12 | 12 | ||||
H 4 | ± [I × I] .2 | 2. (А 5 × А 5 ) .2 | [5,3,3] | 14400 | [5,3,3] + | 30 | 60 | |||||
Полные многогранные призматические группы | ||||||||||||
А 3 А 1 | +1/24 [O × O] .2 3 | S 4 × D 1 | [3,3,2] = [3,3] × [] | 48 | [3,3] + | - | 6 | 1 | ||||
В 3 А 1 | ± 1/24 [O × O] .2 | S 4 × D 1 | [4,3,2] = [4,3] × [] | 96 | - | 3 | 6 | 1 | ||||
H 3 A 1 | ± 1/60 [I × I] .2 | А 5 × Д 1 | [5,3,2] = [5,3] × [] | 240 | [5,3] + | - | 15 | 1 | ||||
Полные дуопризматические группы | ||||||||||||
4A 1 = 2D 2 | ± 1/2 [D 4 × D 4 ] | Д 1 4 = Д 2 2 | [2,2,2] = [] 4 = [2] 2 | 16 | [] + | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
D 2 B 2 | ± 1/2 [D 4 × D 8 ] | Д 2 × Д 4 | [2,2,4] = [2] × [4] | 32 | [2] + | - | 1 | 1 | 2 | 2 | ||
D 2 A 2 | ± 1/2 [D 4 × D 6 ] | Д 2 × Д 3 | [2,2,3] = [2] × [3] | 24 | [3] + | - | 1 | 1 | 3 | |||
D 2 G 2 | ± 1/2 [D 4 × D 12 ] | Д 2 × Д 6 | [2,2,6] = [2] × [6] | 48 | - | 1 | 1 | 3 | 3 | |||
Д 2 Н 2 | ± 1/2 [D 4 × D 10 ] | Д 2 × Д 5 | [2,2,5] = [2] × [5] | 40 | [5] + | - | 1 | 1 | 5 | |||
2B 2 | ± 1/2 [D 8 × D 8 ] | Д 4 2 | [4,2,4] = [4] 2 | 64 | [2 + , 2,2 + ] | 8 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||
В 2 А 2 | ± 1/2 [D 8 × D 6 ] | Д 4 × Д 3 | [4,2,3] = [4] × [3] | 48 | [2 + , 2,3 + ] | - | 2 | 2 | 3 | |||
В 2 Г 2 | ± 1/2 [D 8 × D 12 ] | Д 4 × Д 6 | [4,2,6] = [4] × [6] | 96 | - | 2 | 2 | 3 | 3 | |||
В 2 Н 2 | ± 1/2 [D 8 × D 10 ] | Д 4 × Д 5 | [4,2,5] = [4] × [5] | 80 | [2 + , 2,5 + ] | - | 2 | 2 | 5 | |||
2A 2 | ± 1/2 [D 6 × D 6 ] | Д 3 2 | [3,2,3] = [3] 2 | 36 | [3 + , 2,3 + ] | 6 | 3 | 3 | ||||
А 2 Г 2 | ± 1/2 [D 6 × D 12 ] | Д 3 × Д 6 | [3,2,6] = [3] × [6] | 72 | - | 3 | 3 | 3 | ||||
2G 2 | ± 1/2 [D 12 × D 12 ] | D 6 2 | [6,2,6] = [6] 2 | 144 | 12 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||
А 2 Н 2 | ± 1/2 [D 6 × D 10 ] | Д 3 × Д 5 | [3,2,5] = [3] × [5] | 60 | [3 + , 2,5 + ] | - | 3 | 5 | ||||
G 2 H 2 | ± 1/2 [D 12 × D 10 ] | Д 6 × Д 5 | [6,2,5] = [6] × [5] | 120 | - | 3 | 3 | 5 | ||||
2H 2 | ± 1/2 [D 10 × D 10 ] | D 5 2 | [5,2,5] = [5] 2 | 100 | [5 + , 2,5 + ] | 10 | 5 | 5 | ||||
В общем, p, q = 2,3,4 ... | ||||||||||||
2I 2 (2p) | ± 1/2 [D 4p × D 4p ] | Д 2п 2 | [2p, 2,2p] = [2p] 2 | 16п 2 | [p + , 2, p + ] | 2p | п | п | п | п | ||
2I 2 (р) | ± 1/2 [D 2p × D 2p ] | D p 2 | [p, 2, p] = [p] 2 | 4п 2 | 2p | п | п | |||||
I 2 (p) I 2 (q) | ± 1/2 [D 4p × D 4q ] | D 2p × D 2q | [2p, 2,2q] = [2p] × [2q] | 16пк | [p + , 2, q + ] | - | п | п | q | q | ||
I 2 (p) I 2 (q) | ± 1/2 [D 2p × D 2q ] | D p × D q | [p, 2, q] = [p] × [q] | 4шт | - | п | q |
Порядок симметрии равен количеству ячеек правильного полихорона, умноженному на симметрию его ячеек. У полностью усеченных двойных полихор есть клетки, которые соответствуют основным доменам группы симметрии.
Симметрия | А 4 | D 4 | В 4 | П 4 | H 4 | |
---|---|---|---|---|---|---|
4-многогранник | 5-элементный | demitesseract | тессеракт | 24-элементный | 120 ячеек | |
Клетки | 5 {3,3} | 16 {3,3} | 8 {4,3} | 24 {3,4} | 120 {5,3} | |
Симметрия клеток | [3,3], порядок 24 | [4,3], порядок 48 | [5,3], порядок 120 | |||
Диаграмма Кокстера | знак равно | |||||
4-многогранная сеть | ||||||
Омнитуркация | всенаправленный. 5-элементный | всенаправленный. demitesseract | всенаправленный. тессеракт | всенаправленный. 24-элементный | всенаправленный. 120 ячеек | |
Двойная сеть Omnitruncation | ||||||
Диаграмма Кокстера | ||||||
Клетки | 5 × 24 = 120 | (16/2) × 24 = 192 | 8 × 48 = 384 | 24 × 48 = 1152 | 120 × 120 = 14400 |
Киральные подгруппы
Прямые подгруппы рефлексивных 4-мерных точечных групп:
Обозначение Кокстера | Конвей Кватернион | Состав | Заказ | Оси вращения | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Полихорические группы | ||||||||
[3,3,3] + | +1/60 [I × I ] | А 5 | 60 | 10 3 | 10 2 | |||
[[3,3,3]] + | ± 1/60 [I × I ] | А 5 × Z 2 | 120 | 10 3 | (10+?) 2 | |||
[3 1,1,1 ] + | ± 1/3 [Т × Т] | 1/2. 2 А 4 | 96 | 16 3 | 18 2 | |||
[4,3,3] + | ± 1/6 [O × O] | 2 А 4 = А 2 ≀ А 4 | 192 | 6 4 | 16 3 | 36 2 | ||
[3,4,3] + | ± 1/2 [O × O] | 3. 2 А 4 | 576 | 18 4 | 16 3 | 16 3 | 72 2 | |
[3 + , 4,3 + ] | ± [Т × Т] | 288 | 16 3 | 16 3 | (72 + 18) 2 | |||
[[3 + , 4,3 + ]] | ± [O × T] | 576 | 32 3 | (72 + 18 +?) 2 | ||||
[[3,4,3]] + | ± [O × O] | 1152 | 18 4 | 32 3 | (72+?) 2 | |||
[5,3,3] + | ± [I × I] | 2. (A 5 × A 5 ) | 7200 | 72 5 | 200 3 | 450 2 | ||
Многогранные призматические группы | ||||||||
[3,3,2] + | + 1 / 24 [O × O ] | А 4 × Z 2 | 24 | 4 3 | 4 3 | (6 + 6) 2 | ||
[4,3,2] + | ± 1/24 [O × O] | S 4 × Z 2 | 48 | 6 4 | 8 3 | (3 + 6 + 12) 2 | ||
[5,3,2] + | ± 1/60 [I × I] | А 5 × Z 2 | 120 | 12 5 | 20 3 | (15 + 30) 2 | ||
Дуопризматические группы | ||||||||
[2,2,2] + | +1/2 [D 4 × D 4 ] | 8 | 1 2 | 1 2 | 4 2 | |||
[3,2,3] + | +1/2 [Д 6 × Д 6 ] | 18 | 1 3 | 1 3 | 9 2 | |||
[4,2,4] + | +1/2 [D 8 × D 8 ] | 32 | 1 4 | 1 4 | 16 2 | |||
(p, q = 2,3,4 ...), НОД (p, q) = 1 | ||||||||
[p, 2, p] + | +1/2 [D 2p × D 2p ] | 2п 2 | 1 шт. | 1 шт. | (пп) 2 | |||
[p, 2, q] + | +1/2 [D 2p × D 2q ] | 2pq | 1 шт. | 1 кв. | (pq) 2 | |||
[p + , 2, q + ] | + [C p × C q ] | Z p × Z q | pq | 1 шт. | 1 кв. |
Пентахорическая симметрия
- Пентахорическая группа - A 4 , [3,3,3], (), Порядок 120, (дювалевская # 51' (I † / C 1 ; I / C 1 ) † * , Конвей + 1 / 60 [I × I] 0,2 1 ), названный для 5-клеток (pentachoron) , заданный окольцованной диаграммой Кокстера . Ее также иногда называют гипертетраэдрической группой для расширения группы тетраэдров [3,3]. В этой группе 10 зеркальных гиперплоскостей. Он изоморфен абстрактной симметрической группе S 5 .
- Расширена pentachoric группа , Аи ( 4 ), [[3,3,3]], (удвоение может быть намекают на сложенной диаграммы,), Порядок 240, (дювалевская # 51 (I † * / С 2 ; I / C 2 ) † * , Конвей ± 1 / 60 [I × I ] .2). Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: S 5 × C 2 .
- Хиральная расширенная pentachoric группы является [[3,3,3]] + , (), Порядок 120, (дювалевская # 32 (I † / C 2 ; I / C 2 ) † , Конвей ± 1 / 60 [Ix I ]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснуба из 5 ячеек ,, хотя его нельзя сделать единообразным. Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: A 5 × C 2 .
- Хиральный pentachoric группа является [3,3,3] + , (), Порядок 60, (дювалевская # 32' (I † / C 1 ; I / C 1 ) † , Конвей + 1 / 60 [I × I ]). Она изоморфна абстрактной знакопеременной группе A 5 .
- Расширенная хиральный pentachoric группа является [[3,3,3] + ], порядка 120, (дювалевская # 51" (I † / C 1 ; I / C 1 ) - † * , Конвей + 1 / 60 [Ixi] .2 3 ) .Кокстер связывает эту группу с абстрактной группой (4,6 | 2,3). [13] Она также изоморфна абстрактной симметрической группе S 5 .
- Расширена pentachoric группа , Аи ( 4 ), [[3,3,3]], (удвоение может быть намекают на сложенной диаграммы,), Порядок 240, (дювалевская # 51 (I † * / С 2 ; I / C 2 ) † * , Конвей ± 1 / 60 [I × I ] .2). Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: S 5 × C 2 .
Шестнадцатеричная симметрия
- Шестнадцатеричная группа - B 4 , [4,3,3], (), Порядок 384, (дювалевская # 47 (О / В; О / В) * , Конвей ± 1 / 6 [O × O] 0,2), названный для 16-клеток (hexadecachoron),. В этой группе 16 зеркальных гиперплоскостей, которые можно идентифицировать в 2 ортогональных наборах: 12 от подгруппы [3 1,1,1 ] и 4 от подгруппы [2,2,2]. Ее также называют гипероктаэдрической группой для расширения трехмерной октаэдрической группы [4,3] и тессерактической группой для тессеракта ,.
- Хиральный hexadecachoric группа является [4,3,3] + , (), Порядок 192, (дювалевская # 27 (О / В; О / В), Конвей ± 1 / 6 [O × O]). Эта группа представляет собой построение тессеракта omnisnub ,, хотя его нельзя сделать единообразным.
- Ионная уменьшенная hexadecachoric группа является [4, (3,3) + ], (), Порядок 192, (дювалевская # 41 (Т / В; Т / В) * , Конвей ± 1 / 3 [Т × Т] .2). Эта группа приводит к курносой 24-элементной конструкции.
- Группа половины hexadecachoric равно [1 + , 4,3,3], ( знак равно ), порядка 192, и то же, что и симметрия #demitesseractic : [3 1,1,1 ]. Эта группа выражается в чередующейся конструкции тессеракта из 16 ячеек , знак равно .
- Группа [1 + , 4, (3,3) + ], ( знак равно ) порядка 96, такая же, как киральная демитессерактическая группа [3 1,1,1 ] +, а также коммутант группы [4,3,3].
- Отражательная подгруппа с высоким показателем преломления - призматическая октаэдрическая симметрия , [4,3,2] (), Порядок 96, индекс подгруппы 4, (дювалевская # 44 (О / С 2 ; О / С 2 ) * , Конвей ± 1 / 24 [O × O] 0,2). Усечен кубическая призма имеет эту симметрию с Кокстером диаграммойа кубическая призма представляет собой конструкцию тессеракта с более низкой симметрией , так как.
- Его киральная подгруппа [4,3,2] + , (), Порядок 48, (дювалевская # 26 (О / С 2 ; О / С 2 ), Конвей ± 1 / 24 [O × O]). Примером может служить курносая кубическая антипризма ,, хотя его нельзя сделать единообразным.
- Ионные подгруппы:
- [(3,4) + , 2], (), Порядок 48, (дювалевская # 44b»(О / С 1 ; О / С 1 ) - * , Конвей + 1 / 24 [O × O] 0,2 1 ). Вздернутая кубическая призма имеет эту симметрию с Кокстером диаграммой.
- [(3,4) + , 2 + ], (), Порядок 24, (дювалевская # 44' (Т / С 2 ; Т / С 2 ) - * , Конвей + 1 / 12 [Т × Т] 0,2 1 ).
- [4,3 + , 2], (), Порядок 48, (дювалевская # 39 (Т / С 2 ; Т / С 2 ) с * , Конвей ± 1 / 12 [Т × Т] .2).
- [4,3 + , 2,1 + ] = [4,3 + , 1] = [4,3 + ], ( знак равно ), Порядок 24, (дювалевская # 44" (Т / С 2 ; Т / С 2 ) * , Конвей + 1 / 12 [Т × Т] 0,2 3 ) Это 3D. Pyritohedral группа , [4,3 + ].
- [3 + , 4,2 + ], (), Порядок 24, (дювалевская # 21 (Т / С 2 ; Т / С 2 ), Конвей ± 1 / 12 [Т × Т]).
- [3,4,2 + ], (), Порядок 48, (дювалевская # 39' (Т / С 2 ; Т / С 2 ) - * , Конвей ± 1 / 12 [Т × Т ] .2).
- [4, (3,2) + ], (), Порядок 48, (дювалевская # 40b»(О / С 1 ; О / С 1 ) - * , Конвей + 1 / 24 [O × O ] 0,2 1 ).
- [(3,4) + , 2], (), Порядок 48, (дювалевская # 44b»(О / С 1 ; О / С 1 ) - * , Конвей + 1 / 24 [O × O] 0,2 1 ). Вздернутая кубическая призма имеет эту симметрию с Кокстером диаграммой.
- Полуподгруппа [4,3,2,1 + ] = [4,3,1] = [4,3], ( знак равно ), Порядок 48 (дювалевская # 44b»(О / С 1 ; О / С 1 ) с * , Конвей + 1 / 24 [O × O] 0,2 3 .) Это называется октаэдрической пирамидальную группу и 3D октаэдрической симметрия , [4,3] Кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : () ∨ {4,3}.
- Киральная полуподгруппа [(4,3) + , 2,1 + ] = [4,3,1] + = [4,3] + , ( знак равно ), Порядок 24 (дювалевская # 26b»(О / С 1 ; О / С 1 ), Конвей + 1 / 24 [O × O]). Это трехмерная киральная октаэдрическая группа [4,3] + . A Snub кубической пирамида может иметь такую симметрию, с символом Шлефл: () {∨ Sr 4,3}.
- Еще одна подгруппа отражателей с высоким показателем преломления - призматическая тетраэдрическая симметрия [3,3,2], (), Порядок 48, индекс подгруппы 8, (дювалевская # 40b»(О / С 1 ; О / С 1 ) * , Конвей + 1 / 24 [O × O ] 0,2 3 ).
- Киральная подгруппа [3,3,2] + , (), Порядок 24, (дювалевская # 26b»(О / С 1 ; О / С 1 ), Конвей + 1 / 24 [O × O .]) Примером может служить вздернутый тетраэдрической антипризма ,, хотя его нельзя сделать единообразным.
- Ионная подгруппа [(3,3) + , 2], (), Порядок 24, (дювалевская # 39b»(Т / С 1 ; Т / С 1 ) с * , Конвей + 1 / 12 [Т × Т ] 0,2 3 ). Примером может служить курносая тетраэдрическая призма ,.
- Полуподгруппа [3,3,2,1 + ] = [3,3,1] = [3,3], ( знак равно ), Порядок 24, (дювалевская # 39b»(Т / С 1 ; Т / С 1 ) - * , Конвей + 1 / 12 [Т × Т ] 0,2 1 ) . Это называется четырехгранные пирамидальные группы и является Трехмерная тетраэдрическая группа , [3,3]. Правильная тетраэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: () ∨ {3,3}.
- Киральная полуподгруппа [(3,3) + , 2,1 + ] = [3,3] + ( знак равно ), Порядок 12, (дювалевская # 21b»(Т / С 1 ; Т / С 1 ), Конвей + 1 / 12 [Т × Т]). Это трехмерная киральная тетраэдральная группа , [3,3] + . Вздернутая четырехгранная пирамида может иметь такую симметрию, с символом Шлефл: () {∨ Sr 3,3}.
- Другая подгруппа радиальных отражателей с высоким показателем преломления - [4, (3,3) * ], индекс 24, удаляет зеркала с двугранными углами порядка 3, создавая [2,2,2] (), порядок 16. Остальные - [4,2,4] (), [4,2,2] (), с индексами подгруппы 6 и 12, порядка 64 и 32. Эти группы являются низшими симметриями тессеракта : (), (), а также (). Эти группы имеют # дуопризматическую симметрию .
Икоситетрахорическая симметрия
- Икоситетрахорическая группа - F 4 , [3,4,3], (), Заказ 1152, (дювалевская # 45 (O / T; O / T) * , Конвей ± 1 / 2 [OXO] .2), названный для 24-клеток (icositetrachoron),. В этой симметрии 24 зеркальных плоскости, которые можно разложить на два ортогональных набора по 12 зеркал в подгруппах демитессерактической симметрии [3 1,1,1 ], как [3 * , 4,3] и [3,4,3 * ], как подгруппы индекса 6.
- Расширена icositetrachoric группа , Aut ( F 4 ), [[3,4,3]], () имеет заказ 2304, (Du Val # 48 (O / O; O / O) * , Conway ± [O × O] .2).
- Хиральная расширенная icositetrachoric группа , [[3,4,3]] + , () имеет порядок 1152, (Du Val # 25 (O / O; O / O), Conway ± [OxO]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснуба из 24 ячеек ,, хотя его нельзя сделать единообразным.
- В ионных уменьшенных icositetrachoric группы , [3 + , 4,3] и [3,4,3 + ], ( или же ), имейте заказ 576, (Du Val # 43 (T / T; T / T) * , Conway ± [T × T] .2). Эта группа приводит к курносой 24-элементной конструкции или же .
- Дважды уменьшенная icositetrachoric группа , [3 + , 4,3 + ] (двойное уменьшение может быть показано зазором в диаграмме 4-ветви:), порядок 288, (Du Val # 20 (T / T; T / T), Conway ± [T × T]) - коммутант группы [3,4,3].
- Его можно расширить как [[3 + , 4,3 + ]], () приказ 576, (Du Val # 23 (T / T; O / O), Conway ± [OxT]).
- Дважды уменьшенная icositetrachoric группа , [3 + , 4,3 + ] (двойное уменьшение может быть показано зазором в диаграмме 4-ветви:), порядок 288, (Du Val # 20 (T / T; T / T), Conway ± [T × T]) - коммутант группы [3,4,3].
- Хиральный icositetrachoric группа является [3,4,3] + , (), Порядок 576, (дювалевская # 28 (O / T; O / T), Конвей ± 1 / 2 [O × O]).
- Расширенной хиральный icositetrachoric группы , [[3,4,3] + ] имеет порядок 1152 (дювалевская # 46 (O / T; O / T) - * , Конвей ± 1 / 2 [OXO]. 2 ). Кокстер относит эту группу к абстрактной группе (4,8 | 2,3). [13]
- Расширена icositetrachoric группа , Aut ( F 4 ), [[3,4,3]], () имеет заказ 2304, (Du Val # 48 (O / O; O / O) * , Conway ± [O × O] .2).
Демитессератическая симметрия
- Демитессератическая группа - D 4 , [3 1,1,1 ], [3,3 1,1 ] или [3,3,4,1 + ], ( знак равно ), Порядок 192, (дювалевская # 42 (Т / В; Т / В) - * , Конвей ± 1 / 3 [Т × Т ] 0,2), названный по имени (demitesseract) 4-demicube строительство 16- клетка, или же . В этой группе симметрии 12 зеркал.
- Есть два типа расширенных симметрий за счет добавления зеркал: <[3,3 1,1 ]> который становится [4,3,3] путем деления зеркалом пополам основной области с 3 возможными ориентациями; и полная расширенная группа [3 [3 1,1,1 ]] становится [3,4,3].
- Хиральный demitesseractic группа является [3 1,1,1 ] + или [1 + 4, (3,3) + ], ( знак равно ), Порядок 96, (дювалевская # 22 (Т / В; Т / В), Конвей ± 1 / 3 [Т × Т]). Эта группа приводит к курносой 24-элементной конструкции знак равно .
Гексакозихорическая симметрия
[5,3,3] + 72 вращения порядка 5 | [5,3,3] + 200 вращений порядка 3 |
[5,3,3] + 450 оборотов порядка 2 | [5,3,3] + все вращения |
[5,3], , пирамидальная группа икосаэдра изоморфна трехмерной симметрии икосаэдра |
- Гексакозихорическая группа - H 4 , [5,3,3], (), заказ 14400, (Du Val # 50 (I / I; I / I) * , Conway ± [I × I] .2), названный в честь 600-элементного (гексакосихорон),. Его также иногда называют гиперикосаэдрической группой для расширения трехмерной икосаэдрической группы [5,3], а также гекатоникосахорической группой или додекаконтахорической группой из 120- ячеечной группы ,.
- Хиральный hexacosichoric группа является [5,3,3] + , (), заказ 7200, (Du Val # 30 (I / I; I / I), Conway ± [I × I]). Эта группа представляет собой курносый 120-элементный ,, хотя его нельзя сделать единообразным.
- Отражательной подгруппой с высоким показателем является призматическая икосаэдрическая симметрия , [5,3,2], (), Порядок 240, индекс подгруппы 60, (дювалевская # 49 (I / C 2 ; I / C 2 ) * , Конвей ± 1 / 60 [Ixi] .2).
- Его киральная подгруппа [5,3,2] + , (), Порядок 120, (дювалевская # 31 (I / C 2 ; I / C 2 ), Конвей ± 1 / 60 [Ixi]). Эта группа представляет собой конструкцию курносой додекаэдрической антипризмы ,, хотя его нельзя сделать единообразным.
- Ионная подгруппа [(5,3) + , 2], (), Порядок 120, (дювалевская # 49' (I / C 1 ; I / C 1 ) * , Конвей + 1 / 60 [Ixi] 0,2 1 ). Эта группа представляет собой конструкцию курносой додекаэдрической призмы ,.
- Полуподгруппа [5,3,2,1 + ] = [5,3,1] = [5,3], ( знак равно ), Порядок 120, (дювалевская # 49" (I / C 1 ; I / C 1 ) - * , Конвей + 1 / 60 [Ixi] .2 3 ) Это называется. Икосаэдрическая пирамидальные группы и является 3D икосаэдрическая группа , [5,3]. Правильная додекаэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : () ∨ {5,3}.
- Киральная полуподгруппа [(5,3) + , 2,1 + ] = [5,3,1] + = [5,3] + , ( знак равно ), Порядок 60, (дювалевская # 31' (I / C 1 ; I / C 1 ), Конвей + 1 / 60 [Ixi]). Это трехмерная киральная группа икосаэдра , [5,3] + . Вздернутый додекаэдрической пирамида может иметь такую симметрию, с символом Шлефли : () {∨ Sr 5,3}.
Дуопризматическая симметрия
- Дуопризматические группы - [p, 2, q], () порядка 4 pq существуют для всех 2 ≤ p , q <∞. В этой симметрии есть p + q зеркал, которые тривиально разлагаются на два ортогональных набора из p и q зеркал двугранной симметрии : [p] и [q].
- Киральная подгруппа [p, 2, p] + , (), заказ 2 шт . Его можно удвоить как [[2p, 2,2p] + ].
- Если p и q равны, [p, 2, p], () симметрию можно удвоить как [[p, 2, p]], ().
- Удвоения: [[p + , 2, p + ]], (), [[2p, 2 + , 2p]], [[2p + , 2 + , 2p + ]].
- [p, 2, ∞], (), он представляет собой группу строк в 3-м пространстве,
- [∞, 2, ∞], () он представляет собой симметрию евклидовой плоскости с двумя наборами параллельных зеркал и прямоугольной областью ( орбифолд * 2222).
- Подгруппы включают: [p + , 2, q], (), [p, 2, q + ], (), [p + , 2, q + ], ().
- А для четных значений: [2p, 2 + , 2q], (), [2p, 2 + , 2q + ], (), [(p, 2) + , 2q], (), [2p, (2, q) + ], (), [(p, 2) + , 2q + ], (), [2p + , (2, q) + ], (), [2p + , 2 + , 2q + ], () и коммутаторная подгруппа индекса 16, [2p + , 2 + , 2q + ] + , ().
- Дигональная дуопризматическая группа - [2,2,2], (), заказ 16.
- Киральная подгруппа [2,2,2] + , (), заказ 8.
- Расширенный [[2,2,2]], (), порядок 32. Дуопризма 4-4 имеет эту расширенную симметрию,.
- Киральная расширенная группа - это [[2,2,2]] + , порядок 16.
- Расширенная киральная подгруппа [[2,2,2] + ], порядок 16, с генераторами вращательного отражения . Она изоморфна абстрактной группе (4,4 | 2,2).
- Другая расширенная [(3,3) [2,2,2]] = [4,3,3], порядок 384, # шестнадцатеричная симметрия . Тессеракт имеет эту симметрию, а или же .
- Ионно уменьшенные подгруппы [2 + , 2,2], порядок 8.
- Двойная уменьшенная подгруппа [2 + , 2,2 + ], порядок 4.
- Расширен как [[2 + , 2,2 + ]], порядок 8.
- Подгруппы вращательного отражения - это [2 + , 2 + , 2], [2,2 + , 2 + ], [2 + , (2,2) + ], [(2,2) + , 2 + ] порядок 4.
- Тройная уменьшенная подгруппа [2 + , 2 + , 2 + ], (), порядок 2. Это 2-кратное двойное вращение и 4-мерная центральная инверсия .
- Двойная уменьшенная подгруппа [2 + , 2,2 + ], порядок 4.
- Полуподгруппа [1 + , 2,2,2] = [1,2,2], порядок 8.
- Треугольная дуопризматическая группа - [3,2,3],, заказ 36.
- Киральная подгруппа [3,2,3] + , порядок 18.
- Расширенная [[3,2,3]], порядок 72. Дуопризма 3-3 имеет эту расширенную симметрию,.
- Киральная расширенная группа - это [[3,2,3]] + , порядок 36.
- Расширенная киральная подгруппа [[3,2,3] + ] порядка 36 с генераторами вращательного отражения . Он изоморфен абстрактной группе (4,4 | 2,3).
- Другие расширенные [[3], 2,3], [3,2, [3]], порядок 72, и изоморфны [6,2,3] и [3,2,6].
- И [[3], 2, [3]], порядок 144, и изоморфен [6,2,6].
- И [[[3], 2, [3]]], порядок 288, изоморфен [[6,2,6]]. 6-6 duoprism имеет эту симметрию, а или же .
- Ионно уменьшенные подгруппы - это [3 + , 2,3], [3,2,3 + ], порядок 18.
- Двойная уменьшенная подгруппа [3 + , 2,3 + ], порядок 9.
- Расширен как [[3 + , 2,3 + ]], порядок 18.
- Двойная уменьшенная подгруппа [3 + , 2,3 + ], порядок 9.
- Подгруппа с высоким индексом [3,2], порядок 12, индекс 3, изоморфна диэдральной симметрии в трехмерной группе [3,2], D 3h .
- [3,2] + , порядок 6
- Квадратная дуопризматическая группа - [4,2,4],, заказ 64.
- Киральная подгруппа [4,2,4] + , порядок 32.
- Расширенная [[4,2,4]], порядок 128. Дуопризма 4–4 имеет эту расширенную симметрию,.
- Киральная расширенная группа - это [[4,2,4]] + , порядок 64.
- Расширенная киральная подгруппа [[4,2,4] + ] порядка 64 с генераторами вращательного отражения . Он изоморфен абстрактной группе (4,4 | 2,4).
- Другие расширенные [[4], 2,4], [4,2, [4]], порядок 128, и изоморфны [8,2,4] и [4,2,8]. 4-8 duoprism имеет эту симметрию, а или же .
- И [[4], 2, [4]], порядок 256, и изоморфен [8,2,8].
- И [[[4], 2, [4]]], порядок 512, изоморфен [[8,2,8]]. 8-8 duoprism имеет эту симметрию, а или же .
- Ионно уменьшенные подгруппы - это [4 + , 2,4], [4,2,4 + ], порядок 32.
- Двойная уменьшенная подгруппа [4 + , 2,4 + ], порядок 16.
- Расширен как [[4 + , 2,4 + ]], порядок 32.
- Подгруппы вращательного отражения: [4 + , 2 + , 4], [4,2 + , 4 + ], [4 + , (2,4) + ], [(4,2) + , 4 + ], (, , , ) заказ 16.
- Тройная уменьшенная подгруппа [4 + , 2 + , 4 + ], (), заказ 8.
- Двойная уменьшенная подгруппа [4 + , 2,4 + ], порядок 16.
- Полуподгруппы равны [1 + , 4,2,4] = [2,2,4], (), [4,2,4,1 + ] = [4,2,2], (), заказ 32.
- [1 + , 4,2,4] + = [2,2,4] + , (), [4,2,4,1 + ] + = [4,2,2] + , (), заказ 16.
- Снова наполовину подгруппа [1 + , 4,2,4,1 + ] = [2,2,2], (), заказ 16.
- [1 + , 4,2,4,1 + ] + = [1 + , 4,2 + , 4,1 + ] = [2,2,2] + , () заказ 8
Резюме некоторых 4-мерных точечных групп
Это сводка 4-мерных точечных групп в нотации Кокстера . 227 из них являются кристаллографическими точечными группами (для определенных значений p и q). [14] [ какой? ] (nc) дан для некристаллографических групп. Какая-то кристаллографическая группа [ какая? ] имеют свои заказы, индексированные (order.index) по их абстрактной групповой структуре. [15]
Конечные группы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
Смотрите также
- Группа точек
- Группы точек в двух измерениях
- Группы точек в трех измерениях
Рекомендации
- ^ http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2039540
- ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/Alan/CV25.pdf
- ^ Mozrzymas, Ян; Солецкий, Анджей (1975). «Точечные группы R4». Доклады по математической физике . 7 (3): 363–394. Bibcode : 1975RpMP .... 7..363M . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (75) 90040-3 .
- ^ http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/au0290.pdf
- Перейти ↑ Warner, NP (1982). «Группы симметрии регулярных мозаик S2 и S3». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 383 (1785): 379–398. Bibcode : 1982RSPSA.383..379W . DOI : 10,1098 / rspa.1982.0136 . JSTOR 2397289 . S2CID 119786906 .
- ^ Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники II , 1985, 2.2 Четырехмерные группы отражений , 2.3 Подгруппы малого индекса
- ^ Косетер , регулярные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12,61
- ↑ Патрик Дю Валь, Омографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Oxford , 1964.
- ^ Конвей и Смит, О кватернионах и октонионах , 2003 Глава 4, раздел 4.4 Обозначения Кокстера для групп полиэдров
- ^ "Выпуклые и абстрактные многогранники", Программа и тезисы, MIT, 2005
- ^ Джонсон (2015), Глава 11, Раздел 11.5 Сферические группы Кокстера
- ^ Что такое многогранники? , с греческими числовыми префиксами
- ^ a b Кокстер, Абстрактные группы G m; n; p , (1939)
- ^ Weigel, D .; Phan, T .; Вейссейр Р. (1987). «Кристаллография, геометрия и физика в высших измерениях. III. Геометрические символы для 227 кристаллографических точечных групп в четырехмерном пространстве». Acta Crystallogr . A43 (3): 294. DOI : 10.1107 / S0108767387099367 .
- ↑ Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II (1985)
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и соотношения для дискретных групп 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 с.92, с122.
- Джон .H. Конвей и MJT Guy : четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр. 249
- Джон Х. Конвей и Дерек А. Смит, О кватернионах и октонионах , 2003 г., ISBN 978-1-56881-134-5
- Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26)
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик У. «Равномерный полихорон» . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники» .