Журнал – бревенчатый график

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Журнал – журнал сюжета»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

График логарифма y  =  x  (синий), y  =  x ²  (зеленый) и y  =  x ³  (красный).
Обратите внимание на отметки логарифмической шкалы на каждой из осей, а также на то, что оси log  x и log  y (где логарифмы равны 0) находятся там, где сами x и y равны 1.

В науке и технике , А лог-лог график , или в двойном логарифмическом масштабе участок представляет собой двумерную график числовых данных , которая использует логарифмические шкалы на обеих горизонтальных и вертикальных осей. Мономы - отношения формы - появляются в виде прямых линий на логарифмическом графике, где степенной член соответствует наклону, а постоянный член соответствует пересечению линии. Таким образом, эти графики очень полезны для распознавания этих отношений и оценки параметров . Для логарифма можно использовать любое основание, хотя чаще всего используется основание 10 (общие журналы).${\ displaystyle y = ax ^ {k}}$

Связь с одночленами [ править ]

Учитывая мономиальное уравнение , логарифм уравнения (с любым основанием) дает: ${\ displaystyle y = ax ^ {k},}$

${\ Displaystyle \ журнал у = к \ журнал х + \ журнал а.}$

Установка и, которая соответствует использованию логарифмического графика, дает уравнение:${\ Displaystyle X = \ журнал х}$${\ Displaystyle Y = \ log y,}$

${\ Displaystyle Y = mX + b}$

где m  =  k - наклон линии ( градиент ), а b  = log  a - точка пересечения на (log  y ) -оси, что означает, что log  x  = 0, поэтому, обращая бревна, a - значение y, соответствующее х  = 1. ^[1]

Уравнения [ править ]

Уравнение для линии в логарифмическом масштабе будет следующим:

${\ displaystyle \ log _ {10} F (x) = m \ log _ {10} x + b,}$

${\ Displaystyle F (х) = х ^ {m} \ cdot 10 ^ {b},}$

где m - наклон, а b - точка пересечения на графике.

Наклон графика бревна [ править ]

Определение наклона графика log – log с использованием соотношений

Чтобы найти наклон графика, выбираются две точки на оси x , скажем, x ₁ и x ₂ . Используя приведенное выше уравнение:

${\ Displaystyle \ журнал [F (x_ {1})] = м \ журнал (x_ {1}) + b, \,}$

и

${\ Displaystyle \ mathrm {журнал} [F (x_ {2})] = m \ log (x_ {2}) + b. \,}$

Наклон m находится по разнице:

${\ displaystyle m = {\ frac {\ mathrm {log} (F_ {2}) - \ mathrm {log} (F_ {1})} {\ log (x_ {2}) - \ log (x_ {1}) )}} = {\ frac {\ log (F_ {2} / F_ ​​{1})} {\ log (x_ {2} / x_ {1})}}, \,}$

где F ₁ - это сокращение для F ( x ₁ ), а F ₂ - сокращение для F ( x ₂ ). Рисунок справа иллюстрирует формулу. Обратите внимание, что наклон в примере на рисунке отрицательный . Формула также обеспечивает отрицательный наклон, как видно из следующего свойства логарифма:

${\ displaystyle \ log (x_ {1} / x_ {2}) = - \ log (x_ {2} / x_ {1}). \,}$

Поиск функции на графике журнал – журнал [ править ]

Вышеупомянутая процедура теперь обращена, чтобы найти форму функции F ( x ), используя ее (предполагаемый) известный график log – log. Чтобы найти функцию F , выберите некоторую фиксированную точку ( x ₀ , F ₀ ), где F ₀ является сокращением для F ( x ₀ ), где-нибудь на прямой линии на приведенном выше графике, а затем другую произвольную точку ( x ₁ , F ₁ ) на том же графике. Затем из приведенной выше формулы наклона:

${\ displaystyle m = {\ frac {\ log (F_ {1} / F_ ​​{0})} {\ log (x_ {1} / x_ {0})}}}$

что приводит к

${\ displaystyle \ log (F_ {1} / F_ ​​{0}) = m \ log (x_ {1} / x_ {0}) = \ log [(x_ {1} / x_ {0}) ^ {m} ]. \,}$

Обратите внимание, что 10 ^{log ₁₀ ( F ₁ )} = F ₁ . Поэтому журналы можно перевернуть, чтобы найти:

${\ displaystyle {\ frac {F_ {1}} {F_ {0}}} = \ left ({\ frac {x_ {1}} {x_ {0}}} \ right) ^ {m}}$

или же

${\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,\,x^{m},\,}$

что обозначает

${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$

Другими словами, F пропорционально x степени наклона прямой его логарифмически логарифмического графика. В частности, прямая линия на графике логарифма, содержащая точки ( F ₀ ,  x ₀ ) и ( F ₁ ,  x ₁ ), будет иметь функцию:

${\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},}$

Конечно, верно и обратное: любая функция вида

${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}}$

будет иметь прямую линию в качестве логарифмического графического представления, где наклон линии равен  m .

Нахождение площади под прямолинейным отрезком графика бревна [ править ]

Чтобы вычислить площадь под непрерывным прямолинейным сегментом логарифмического графика (или оценить площадь почти прямой линии), возьмите функцию, определенную ранее

${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$

и интегрировать его. Поскольку он работает только с определенным интегралом (двумя определенными конечными точками), область A под графиком принимает форму

${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx={\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}:[x_{0},x_{1}]}$

Преобразуя исходное уравнение и вставляя значения с фиксированной точкой, обнаруживается, что

${\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$

Подставляя обратно в интеграл, вы обнаруживаете, что для A больше x от ₀ до x ₁

${\displaystyle A={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})}$

${\displaystyle \log A=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})}$

${\displaystyle \log A=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)}$

Следовательно: ${\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}$

При m  = −1 интеграл принимает вид${\displaystyle A_{(m=-1)}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {1}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln x:[x_{0},x_{1}]}$

${\displaystyle A_{(m=-1)}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}}$

Приложения [ править ]

Эти графики полезны, когда параметры a и b необходимо оценить по числовым данным. Подобные спецификации часто используются в экономике .

Одним из примеров является оценка функций спроса на деньги на основе теории запасов , в которой можно предположить, что спрос на деньги в момент времени t определяется выражением

${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$

где M - реальное количество денег, находящихся в распоряжении населения, R - норма прибыли на альтернативный, более высокодоходный актив, превышающий доход на деньги, Y - реальный доход населения , U - член ошибки, предположительно распределенный логнормально. , A - масштабный параметр, который необходимо оценить, а b и c - параметры эластичности, которые необходимо оценить. Прием урожайности бревен

${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$

где м = войти М , а = войти A , г = Log R , Y = войти Y и U = войти U с U быть распределены нормально . Это уравнение можно оценить с помощью обычных наименьших квадратов .

Другой экономический пример - оценка производственной функции фирмы Кобба – Дугласа , которая является правой частью уравнения

${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},}$

где Q - количество продукции, которое может быть произведено в месяц, N - количество часов труда, задействованных в производстве в месяц, K - количество часов физического капитала, используемого в месяц, U - показатель погрешности, который предполагается равным логарифмически нормально распределенные, A , и - параметры, которые необходимо оценить. Ведение журналов дает уравнение линейной регрессии${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$

где Q = войти Q , а = войти A , п = войти N , K = войти K и U = войти U .

Логарифмическая регрессия также может использоваться для оценки фрактальной размерности встречающегося в природе фрактала .

Однако движение в другом направлении - наблюдение за тем, что данные отображаются в виде приблизительной линии в логарифмическом масштабе и вывод о том, что данные подчиняются степенному закону, - неверно. ^[2]

В самом деле, многие другие функциональные формы появляются приблизительно линейные на двойном логарифмическом масштабе, а просто оценить степень согласия в виде линейной регрессии по регистрируемым данным , используя коэффициент детерминации ( R ² ) может быть недействительным, поскольку допущения линейного модель регрессии, такая как ошибка Гаусса, может не выполняться; кроме того, тесты соответствия логарифмической формы могут иметь низкую статистическую мощность , поскольку эти тесты могут иметь низкую вероятность отклонения степенных законов в присутствии других истинных функциональных форм. Хотя простые диаграммы логарифма могут быть полезны для выявления возможных степенных законов, они использовались еще со времен Парето.в 1890-х годах для подтверждения как степенного закона требовалась более сложная статистика. ^[2]

Эти графики также чрезвычайно полезны, когда данные собираются путем изменения управляющей переменной по экспоненциальной функции, и в этом случае управляющая переменная x более естественно представлена ​​в логарифмическом масштабе, так что точки данных располагаются равномерно, а не сжимаются в нижний предел. Выходная переменная y может быть представлена ​​линейно, давая линейно -логарифмический график (log  x , y ), или ее логарифм также может быть взят, давая логарифмический график (log  x , log  y ).

Боде (а график по частотной характеристике системы) также в двойном логарифмическом масштабе.

См. Также [ править ]

• Полулогарифмический график (lin-log или log-lin)

Внешние ссылки [ править ]

• Сайт неньютоновского исчисления

Ссылки [ править ]