Союз (теория множеств)

Союз двух наборов:
${\ displaystyle ~ A \ чашка B}$

Союз трех комплектов:
${\ Displaystyle ~ A \ чашка B \ чашка C}$

Объединение A, B, C, D и E - это все, кроме белой области.

В теории множеств , то объединение (обозначается ∪) из набора множеств является множество всех элементов в коллекции. ^[1] Это одна из основных операций, с помощью которой наборы могут быть объединены и связаны друг с другом.

Для объяснения символов, используемых в этой статье, обратитесь к таблице математических символов .

Объединение двух наборов [ править ]

Объединение двух множеств A и B представляет собой совокупность элементов , которые находятся в A , в B , или в обоих A и B . ^[2] В символах,

${\ Displaystyle A \ чашка B = \ {x: x \ in A {\ text {или}} x \ in B \}}$. ^[3]

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):

A = { x - четное целое число больше 1}

B = { x - нечетное целое число больше 1}

${\ Displaystyle А \ чашка В = \ {2,3,4,5,6, \ точки \}}$

В качестве другого примера, число 9 не содержится в объединении набора простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и набора четных чисел {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, потому что 9 не простое и не четное число.

Наборы не могут иметь повторяющихся элементов, ^{[3] [4],} поэтому объединение наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Наличие нескольких одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.

Алгебраические свойства [ править ]

Бинарное объединение - это ассоциативная операция; то есть для любых множеств A , B и C ,

${\ Displaystyle A \ чашка (B \ чашка C) = (A \ чашка B) \ чашка C.}$

Таким образом , круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности: либо из вышеперечисленных может быть записана в виде ∪ B ∪ C . Кроме того, объединение коммутативно , поэтому наборы можно записывать в любом порядке. ^[5] пустое множество является единичным элементом для операции объединения. То есть, ∪ ∅ = , для любого множества A. Кроме того , операция объединения идемпотентна: ∪ = . Все эти свойства вытекают из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .

Пересечение распределяет по союзу

${\ Displaystyle A \ крышка (B \ чашка C) = (A \ cap B) \ чашка (A \ cap C)}$

и союз распределяет по пересечению

${\ Displaystyle A \ чашка (B \ cap C) = (A \ cup B) \ cap (A \ cup C).}$^[2]

Набор мощности множества U , вместе с операциями , данных объединения, пересечения и комплементации , является Булева алгебра . В этой булевой алгебре объединение может быть выражено в терминах пересечения и дополнения формулой

${\ Displaystyle A \ чашка B = \ left (A ^ {\ text {c}} \ cap B ^ {\ text {c}} \ right) ^ {\ text {c}},}$

где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве U .${\ displaystyle {} ^ {\ text {c}}}$

Конечные союзы [ править ]

Можно взять объединение нескольких наборов одновременно. Например, объединение трех наборов A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C , и ничего больше. Таким образом, х является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда , когда х является , по меньшей мере , один из A , B , и C .

Конечное объединение является объединением конечного числа множеств; фраза не означает, что объединенное множество является конечным множеством . ^{[6] [7]}

Произвольные союзы [ править ]

Наиболее общее понятие - это объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если М представляет собой набор или класс , элементы которого является множеством, то х является элементом объединения M тогда и только тогда , когда существует по меньшей мере , один элемент , из М такое , что х является элементом A . ^[8] В условных обозначениях:

${\ Displaystyle х \ in \ bigcup \ mathbf {M} \ iff \ существует A \ in \ mathbf {M}, \ x \ in A.}$

Эта идея включает предыдущие разделы - например, A ∪ B ∪ C - это объединение набора { A , B , C }. Кроме того, если M - пустой набор, то объединение M - это пустое множество.

Обозначения [ править ]

Обозначения для общей концепции могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для любых союзов включают , и . ^[9] Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции , где I - индексный набор и набор для каждого . В случае, когда индексное множество I является множеством натуральных чисел , используется запись , аналогичная обозначению бесконечных сумм в ряду. ^[8]${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ точки, S_ {n}}$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$${\displaystyle \bigcup \mathbf {M} }$${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается в большем размере.

Кодировка обозначений [ править ]

В Юникоде объединение представлено символом U + 222A ∪ UNION . В TeX , визуализируется из \ чашки.${\displaystyle \cup }$

См. Также [ править ]

• Алгебра множеств
• Чередование (теория формального языка) , объединение множеств строк
• Аксиома союза
• Несвязный союз
• Пересечение (теория множеств)
• Итерированная бинарная операция
• Список установленных идентичностей и отношений
• Наивная теория множеств
• Симметричная разница

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Союза (теории множеств) .

• "Союз множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана формально доказаны на основе аксиом теории множеств.