Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Машина для фасоли
Коробка Гальтона в движении

Машина для фасоли , также известная как Доска Гальтона или quincunx , - это устройство, изобретенное сэром Фрэнсисом Гальтоном [1] для демонстрации центральной предельной теоремы , в частности, что при достаточном размере выборки биномиальное распределение приближается к нормальному распределению . Среди его приложений он позволил понять регрессию к среднему или «регресс к посредственности».

Описание [ править ]

Доска Galton Board состоит из вертикальной доски с чередующимися рядами колышков. Бусинки падают сверху и, когда устройство выровнено, отскакивают влево или вправо при ударе о колышки. В конце концов они собираются в бункеры внизу, где высота столбиков бусинок, собранных в бункерах, приближается к колоколообразной кривой . Наложение треугольника Паскаля на булавки показывает количество различных путей, которые можно пройти, чтобы добраться до каждого бункера. [2]

Крупномасштабные рабочие модели этого устройства, созданные Чарльзом и Рэем Имзом, можно увидеть на выставках Mathematica: A World of Numbers ... and Beyond, постоянно выставленных на обозрение в Бостонском музее науки , Нью-Йоркском зале науки или Музей Генри Форда . [3] Еще одна крупномасштабная версия выставлена ​​в холле Index Fund Advisors в Ирвине, Калифорния. [4]

Машины для фасоли могут быть сконструированы для других распределений, изменив форму штифтов или смещая их в одном направлении, и даже возможны бимодальные машины для фасоли. [5] Бобовая машина для логнормального распределения (часто встречается во многих природных процессах , особенно в биологических), которая использует равнобедренные треугольники различной ширины для «умножения» расстояния, которое проходит бусинка, вместо шагов фиксированного размера, которые «суммируют» , был построен Якобусом Каптейном , изучая и популяризируя статистику логнормальности, чтобы помочь визуализировать ее и продемонстрировать ее правдоподобие. [6] По состоянию на 1963 год он хранился в университете Гронингена . [7]Усовершенствованная машина для производства бобов с нормальным логарифмом, использующая перекошенные треугольники, что позволяет избежать смещения медианы бусинок влево. [8]

Раздача бус [ править ]

Если бусинка отскакивает вправо k раз на своем пути вниз (и влево на оставшихся колышках), она оказывается в k- м бункере, считая слева. Обозначая количество рядов колышков в доске Гальтона n , количество путей к k- му корзине на дне определяется биномиальным коэффициентом . Обратите внимание, что крайний левый бин - это 0- бин , рядом с ним - 1- бин и т. Д., А самый дальний справа - это n- бин, в результате чего общее количество бинов равно n + 1 (каждая строка не требуется больше колышков, чем число, которое идентифицирует саму строку, например, первая строка имеет 1 колышек, а вторая 2 колышка, покаn -я строка с n колышками, соответствующими n + 1 ячейкам). Если вероятность отскочить вправо от колышка равна p (что равно 0,5 на машине с несмещенным уровнем), вероятность того, что мяч окажется в k- м интервале, равна . Это функция массы вероятности биномиального распределения . Количество строк соответствует размеру биномиального распределения по количеству попыток, в то время как вероятность p каждой булавки равна p биномиального распределения .

Согласно центральной предельной теореме (точнее, теореме де Муавра – Лапласа ), биномиальное распределение аппроксимирует нормальное распределение при условии, что количество строк и количество шариков велико. Изменение строк приведет к различным стандартным отклонениям или ширине колоколообразной кривой или нормальному распределению в ячейках.

Примеры [ править ]

  • Доска Гальтона (7,5 на 4,5 дюйма)

  • До и после отжима

  • Рабочая копия станка (немного измененная конструкция)

  • Машина для производства фасоли, нарисованная сэром Фрэнсисом Гальтоном

История [ править ]

Сэр Фрэнсис Гальтон был очарован порядком кривой колокола, который возникает из очевидного хаоса бусинок, отскакивающих от колышков на доске Гальтона. Он красноречиво описал эти отношения в своей книге « Естественное наследование» (1889 г.):

Порядок в кажущемся хаосе: я не знаю ничего более впечатляющего в воображении, чем чудесная форма космического порядка, выраженная Законом Частоты Ошибок. Закон был бы олицетворен греками и обожествлен, если бы они знали о нем. Он царит безмятежно и в полном самоуничижении среди самой дикой неразберихи. Чем больше толпа и чем больше очевидная анархия, тем совершеннее ее власть. Это высший закон безрассудства. Всякий раз, когда берется большая выборка хаотических элементов и выстраивается в порядке их величины, неожиданная и самая красивая форма регулярности оказывается скрытой все время. [1] : 66

Игры [ править ]

Было разработано несколько игр, использующих идею кеглей, изменяющих маршрут движения шаров или других объектов:

  • Пачинко
  • Payazzo
  • Peggle
  • Пинбол
  • Плинко
  • Стена

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Гальтон, сэр Фрэнсис (1894). Естественное наследование . Макмиллан. ISBN  978-1297895982
  2. ^ "Доска Гальтона" . www.galtonboard.com . Четыре Pines Publishing, Inc . Проверено 6 марта 2018 .
  3. ^ "Музей Генри Форда приобретает выставку Математики Имса" . Центральные новости аукциона . LiveAuctioneers. 20 марта 2015 . Проверено 6 марта 2018 .
  4. ^ "IFA.tv - От хаоса к порядку на доске Гальтона - Случайный гуляющий" . 23 декабря 2009 . Проверено 6 марта 2018 .
  5. ^ Бремер и др., 2018, «Добыча золота из неявных моделей для улучшения вывода без правдоподобия» : «Пример добычи на симуляторе»
  6. ^ Kapteyn 1903, Кривые частоты перекоса в биологии и статистике v1 ; Kapteyn & van Uven 1916, Кривые частоты перекоса в биологии и статистике v2
  7. ^ Aitchison & Brown 1963, Логнормальное распределение с особым упором на его использование в экономике
  8. ^ Лимперт и др. 2001, " Логнормальные распределения по наукам: ключи и подсказки"

Внешние ссылки [ править ]

  • Информационный сайт Galton Board со ссылками на ресурсы
  • Машина вероятностей высотой 8 футов (2,4 м) (названная сэром Фрэнсисом), сравнивающая доходность фондового рынка со случайностью падения зерен через образец квинконса. от Index Fund Advisors IFA.com
  • Quincunx и его связь с нормальным распределением из Math Is Fun
  • Многоступенчатое моделирование бобовых машин (JS)
  • Marble Run Паскаля: детерминированная доска Гальтона
  • Логнормальная машина bean ( анимация )