В математической области реального анализа , теорема Лузина (или теорема Лузина , названный в честь Николая Лузина ) или критерий Лузина утверждает , что почти всюду конечная функция измерима тогда и только тогда , когда она является непрерывной функцией на почти всей своей области. В неформальной формулировке из JE Литтлвудом , «всякая измеримая функция непрерывна почти».
Классическое высказывание
Для интервала [ a , b ] пусть
- измеримая функция. Тогда для любого ε > 0 существует такой компакт E ⊆ [ a , b ], что ограничение f на E непрерывно и
Обратите внимание, что E наследует топологию подпространства из [ a , b ]; непрерывность ограниченного на E f определяется с помощью этой топологии.
Также для любой функции f , определенной на интервале [ a, b ] и почти всюду конечной, если для любого ε> 0 существует функция ϕ , непрерывная на [ a, b ], такая, что мера множества
меньше ε , то f измеримо. [1]
Общая форма
Позволять - радоновское пространство с мерой, Y - топологическое пространство с подсчетом секунд, снабженное борелевской алгеброй , и пусть
- измеримая функция. Дано, для каждого конечной меры существует замкнутое множество с участием такой, что ограниченный непрерывно. Еслиявляется локально компактным , мы можем выбрать быть компактным и даже найти непрерывную функцию с компактной опорой, совпадающей с на и такой, что .
Неформально измеримые функции в пространствах со счетной базой могут быть аппроксимированы непрерывными функциями на сколь угодно большой части их области определения.
О доказательстве
Доказательство теоремы Лусина можно найти во многих классических книгах. Интуитивно этого можно ожидать как следствие теоремы Егорова и плотности гладких функций. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти равномерна, а равномерная сходимость сохраняет непрерывность.
Рекомендации
- Н. Лусин. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688–1690.
- Г. Фолланд. Реальный анализ: современные методы и их приложения , 2-е изд. Глава 7
- В. Зигмунт. Собственность Скорца-Дракони (на польском языке), UMCS, Люблин, 1990 г.
- М.Б. Фельдман, "Доказательство теоремы Лузина", American Math. Ежемесячно, 88 (1981), 191-2
- Лоуренс К. Эванс, Рональд Ф. Гариепи, "Теория меры и тонкие свойства функций", CRC Press Taylor & Francis Group, Учебники по математике, Теорема 1.14
- ^ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Luzin_criterion