Три принципа реального анализа Литтлвуда являются эвристикой Дж . Э. Литтлвуда , помогающей преподавать основы теории меры в математическом анализе .
Есть три принципа, грубо выражаемые в следующих терминах: каждое ( измеримое ) множество представляет собой почти конечную сумму интервалов; всякая функция (класса Lp ) почти непрерывна ; всякая сходящаяся последовательность функций почти равномерно сходится .
Первый принцип основан на равенстве внутренней меры и внешней меры для измеримых множеств, второй — на теореме Лусина , а третий — на теореме Егорова .
Три принципа Литтлвуда цитируются в нескольких реальных аналитических текстах, например, Royden, [2] , Bressoud, [3] и Stein & Shakarchi. [4]
Ройден [5] дает теорему об ограниченной сходимости как приложение третьего принципа. Теорема утверждает, что если равномерно ограниченная последовательность функций сходится поточечно, то их интегралы на множестве конечной меры сходятся к интегралу от предельной функции. Если бы сходимость была равномерной, это был бы тривиальный результат, а третий принцип Литтлвуда говорит нам, что сходимость почти равномерна, то есть равномерна вне множества произвольно малой меры. Ввиду ограниченности последовательности вклад в интегралы малого множества можно сделать сколь угодно малым, а интегралы на остатке сходятся, поскольку функции там сходятся равномерно.