Внутренняя мера

В математике , в частности в теории меры , внутренняя мера - это функция на множестве степеней данного множества со значениями в расширенных действительных числах , удовлетворяющая некоторым техническим условиям. Интуитивно внутренняя мера набора - это нижняя граница размера этого набора.

Определение [ править ]

Внутренняя мера - это функция

${\ displaystyle \ varphi: 2 ^ {X} \ rightarrow [0, \ infty],}$

определенная на всех подмножествах множества X , удовлетворяющая следующим условиям:

• Null empty set: Пустой набор имеет нулевую внутреннюю меру ( см. Также: нулевую меру ).

${\ Displaystyle \ varphi (\ varnothing) = 0}$

• Сверхаддитивные : Для любого непересекающихся множеств и Б ,

${\ Displaystyle \ varphi (A \ чашка B) \ geq \ varphi (A) + \ varphi (B).}$

• Пределы убывающих башен: для любой последовательности { A _j } наборов, такой что для каждого j и${\ Displaystyle A_ {j} \ supseteq A_ {j + 1}}$${\ Displaystyle \ varphi (A_ {1}) <\ infty}$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$

• Необходимо приблизиться к бесконечности: если для множества A, то для каждого положительного действительного числа c существует B ⊆ A такое, что,${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$

${\displaystyle c\leq \varphi (B)<\infty }$

Внутренняя мера, индуцированная мерой [ править ]

Пусть Σ - σ-алгебра над множеством X, а μ - мера на Σ. Тогда внутренняя мера μ _*, индуцированная μ , определяется равенством

${\displaystyle \mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma {\text{ and }}S\subseteq T\}.}$

По сути, μ _* дает нижнюю границу размера любого множества, гарантируя, что оно не меньше μ- меры любого из его Σ-измеримых подмножеств. Несмотря на то, что функция множества μ _* обычно не является мерой, μ _* разделяет следующие свойства с мерами:

1. μ _* (∅)  =  0,
2. μ _* неотрицательно,
3. Если E ⊆ F, то μ _* ( E ) ≤ μ _* ( F ).

Завершение измерения [ править ]

Индуцированные внутренние меры часто используются в сочетании с внешними мерами для расширения меры на большую σ-алгебру. Если μ - конечная мера, определенная на σ-алгебре Σ над X, а μ ^* и μ _* - соответствующие индуцированные внешние и внутренние меры, то множества T ∈ 2 ^X такие, что μ _* ( T ) = μ ^* ( T ), образуют σ-алгебра с . ^[1] Функция множества μ̂, определенная формулой${\displaystyle {\hat {\Sigma }}}$${\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)}$

для всех - это мера, известная как пополнение μ .${\displaystyle T\in {\hat {\Sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\Sigma }}}$

Ссылки [ править ]

• Халмос, Пол Р., Теория меры , D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, стр.
• А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин, перевод Ричарда А. Сильвермана, Введение в реальный анализ , Dover Publications, Нью-Йорк, 1970, ISBN  0-486-61226-0 (Глава 7)