Супераддитивность

В математике , А последовательность { _п }, п ≥ 1, называется сверхаддитивна , если она удовлетворяет неравенству

${\ Displaystyle а_ {п + м} \ geq а_ {п} + а_ {м}}$

для всех m и n . Основная причина использования сверхаддитивных последовательностей является следующей леммой из - за Майкл Фекет . ^[1]

Лемма: (Фекете) Для любой супераддитивной последовательности { a _n }, n ≥ 1, существует предел lim a _n  / n , равный sup a _n  / n . (Предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности a _n = log  n !.)

Аналогично, функция F является сверхаддитивен , если

${\ Displaystyle е (х + у) \ geq е (х) + е (у)}$

для всех x и y в области определения f .

Например, это сверхаддитивна функция для неотрицательных действительных чисел , так как квадрат из всегда больше или равна квадрату плюс квадрат , для неотрицательных действительных чисел , а (( х + у ) ² = х ² + у ² + 2 ху ).${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle x+y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Аналог леммы Фекете верен и для субаддитивных функций. Существуют расширения леммы Фекете, не требующие выполнения приведенного выше определения супераддитивности для всех m и n . Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого указано в лемме Фекете, если присутствует какая-то супераддитивность и субаддитивность. Хорошее изложение этой темы можно найти в Steele (1997). ^{[2] [3]}

Термин «супераддитивный» также применяется к функциям от логической алгебры к действительным числам где , например, к более низким вероятностям .${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y)}$

Если е является сверхаддитивна функцией, а если 0 в своей области, то F (0) ≤ 0. Чтобы убедиться в этом, возьмите неравенство в верхней части: . Следовательно${\displaystyle f(x)\leq f(x+y)-f(y)}$${\displaystyle f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.}$

Негатив супераддитивной функции субаддитивен .

Примеры супераддитивных функций [ править ]

• Определитель сверхаддитивен неотрицательные эрмитовых матрицы , то есть , если есть неотрицательная эрмитовость то .${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B)}$

Это следует из теоремы о детерминанте Минковского, которая в более общем плане утверждает, что она супераддитивна ( то есть вогнута ) ^[4] для неотрицательных эрмитовых матриц размера n : если неотрицательные эрмитовы, то .${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}}$

• Взаимная информация
• Хорст Альцер доказал ^[5], что гамма-функция Адамара H ( x ) супераддитивна для всех действительных чисел x , y с x , y ≥ 1,5031.

См. Также [ править ]

• Интеграл Шоке
• Субаддитивность

Ссылки [ править ]

Заметки

• Дьёрдь Поля и Габор Сегё. (1976). Проблемы и теоремы анализа, том 1 . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-05672-6.

Эта статья включает в себя материал из раздела «Супераддитивность» на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .