Интеграл Шоке является субаддитивным или сверхаддитивен интегралом , созданный французским математиком Густав Шоком в 1953 году [1] Первоначально он был использован в статистической механике и теории потенциала , [2] , но нашли свой путь в теорию принятия решений в 1980 - х годах, [3] где он используется как способ измерения ожидаемой полезности неопределенного события. Он применяется специально к функциям и возможностям принадлежности . В неточной теории вероятностей, интеграл Шоке также используется для вычисления нижнего ожидания, индуцированного 2-монотонной нижней вероятностью , или верхнего ожидания, индуцированного 2-чередующейся верхней вероятностью .
Использование интеграла Шока для обозначения ожидаемой полезности функций веры , измеренных мощностями является способом примирить парадокс Ellsberg и парадокс Алле . [4] [5]
Определение
Используются следующие обозначения:
- - множество.
- - набор подмножеств .
- - функция.
- - монотонная установка функции .
Предположить, что измерима относительно , это
Тогда интеграл Шоке от относительно определяется:
где интегралы в правой части представляют собой обычный интеграл Римана (подынтегральные выражения интегрируемы, поскольку они монотонны по).
Характеристики
В общем случае интеграл Шоке не удовлетворяет аддитивности. В частности, если не является вероятностной мерой, можно считать, что
для некоторых функций а также .
Интеграл Шоке удовлетворяет следующим свойствам.
Монотонность
Если тогда
Положительная однородность
Для всех он считает, что
Комонотонная аддитивность
Если являются комонотонными функциями, то есть если для всех он считает, что
- .
- что можно представить как а также подниматься и опускаться вместе
тогда
Субаддитивность
Если 2-чередуется, [ требуется уточнение ], тогда
Супераддитивность
Если 2-монотонный, [ требуется пояснение ], тогда
Альтернативное представительство
Позволять обозначают кумулятивную функцию распределения такую, что является интегрируемый. Тогда эту следующую формулу часто называют интегралом Шоке:
где .
- выберите получить ,
- выберите получить
Приложения
Интеграл Шоке применялся в обработке изображений, видео и компьютерном зрении. В теории поведенческих решений Амос Тверски и Дэниел Канеман используют интеграл Шоке и связанные с ним методы в своей формулировке теории совокупных перспектив. [6]
Смотрите также
Заметки
- ^ Шоке, G. (1953). «Теория емкостей» . Annales de l'Institut Fourier . 5 : 131–295. DOI : 10,5802 / aif.53 .
- ^ Деннеберг, Д. (1994). Неаддитивная мера и интеграл . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-2840-X.
- ^ Грабиш, М. (1996). «Применение нечетких интегралов в многокритериальном принятии решений». Европейский журнал операционных исследований . 89 (3): 445–456. DOI : 10.1016 / 0377-2217 (95) 00176-X .
- ^ Chateauneuf, A .; Коэн, доктор медицины (2010). «Кардинальные расширения модели ЕС на основе интеграла Шоке». В Буису, Дени; Дюбуа, Дидье; Пирло, Марк; Прад, Анри (ред.). Процесс принятия решений: концепции и методы . DOI : 10.1002 / 9780470611876.ch10 .
- ^ Срибоунчита, С .; Вонг, В.К .; Dhompongsa, S .; Нгуен, HT (2010). Стохастическое доминирование и приложения к финансам, рискам и экономике . CRC Press. ISBN 978-1-4200-8266-1.
- ^ Тверски, А .; Канеман, Д. (1992). «Достижения в теории перспектив: совокупное представление неопределенности». Журнал риска и неопределенности . 5 : 297–323. DOI : 10.1007 / bf00122574 .
дальнейшее чтение
- Гильбоа, I .; Шмейдлер, Д. (1992). «Аддитивные представления неаддитивных мер и интеграл Шоке». Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Даже, Y .; Лерер, Э. (2014). «Разложение-интеграл: объединение Шоке и вогнутых интегралов». Экономическая теория . 56 (1): 33–58. DOI : 10.1007 / s00199-013-0780-0 . Руководство по ремонту 3190759 .