Неточная вероятность обобщает теорию вероятностей, чтобы учесть частичные спецификации вероятностей, и применима, когда информация недостаточна, расплывчата или противоречит, и в этом случае уникальное распределение вероятностей может быть трудно идентифицировать. Таким образом, теория направлена на более точное представление имеющихся знаний. Неточность полезна при работе с экспертами , потому что:
- Люди имеют ограниченную способность определять свои собственные субъективные вероятности и могут обнаружить, что могут предоставить только интервал.
- Поскольку интервал совместим с рядом мнений, анализ должен быть более убедительным для ряда разных людей.
Вступление
Неопределенность традиционно моделируется распределением вероятностей , разработанным Колмогоровым , [1] Лапласом , де Финетти , [2] Рэмси , Коксом , Линдли и многими другими. Однако это не было единодушно принято учеными, статистиками и специалистами по теории вероятностей: утверждалось, что требуется некоторая модификация или расширение теории вероятностей, потому что не всегда можно обеспечить вероятность для каждого события, особенно когда это мало информация или данные , имеющиеся в наличии ранний пример такой критики Буль «s критический анализ [3] из Лапласа » работы- s, или когда мы хотим модель вероятности того, что группа согласна с, а не те , из одного человека.
Возможно, наиболее распространенным обобщением является замена одной спецификации вероятности спецификацией интервала. Нижняя и верхняя вероятности , обозначаемые а также или, в более общем смысле, нижние и верхние ожидания (предвидения), [4] [5] [6] [7] направлены на восполнение этого пробела. Функция более низкой вероятности является супераддитивной, но не обязательно аддитивной, тогда как функция верхней вероятности является субаддитивной. Чтобы получить общее представление о теории, рассмотрите:
- особый случай с на все мероприятия эквивалентно точной вероятности
- а также для всех нетривиальных событий не представляет никаких ограничений на спецификацию
Тогда у нас есть гибкий континуум более или менее точных промежуточных моделей.
Некоторые подходы, суммированные под названием неаддитивных вероятностей , [8] непосредственно использовать один из этих функций множества , предполагая другую , чтобы быть естественным образом определены таким образом, что, с участием дополнение . Другие связанные понятия понимают соответствующие интервалыдля всех событий как основной объект. [9] [10]
История
Идея использовать неточную вероятность имеет долгую историю. Первые официальные даты лечения по крайней мере к середине девятнадцатого века, от Джорджа Буля , [3] , который призван примирить теории логики (которые могут выразить полное невежество) и вероятность. В 1920 - х годах, в Трактате о вероятности , Кейнс [11] сформулирован и применен явный интервал оценки подход к вероятности. Работа над неточными вероятностными моделями шла прерывисто на протяжении всего ХХ века, при этом важный вклад внесли Бернард Купман , К.А.Б. Смит , И.Дж. Гуд , Артур Демпстер , Гленн Шафер , П.М. Уильямс, Генри Кибург , Исаак Леви и Тедди Зайденфельд . [12] В начале 90-х эта область начала набирать обороты с публикацией основополагающей книги Питера Уолли «Статистические рассуждения с неточными вероятностями» [7] ( отсюда и термин «неточная вероятность»). В 1990-е годы также были отмечены важные работы Кузнецова [13] и Вайхзельбергера [9] [10], которые оба используют термин интервальная вероятность . Теория Уолли расширяет традиционную теорию субъективной вероятности через цены покупки и продажи для азартных игр, тогда как подход Вайхзельбергера обобщает аксиомы Колмогорова , не навязывая интерпретации.
Стандартные условия согласованности связывают назначения верхней и нижней вероятности с непустыми замкнутыми выпуклыми наборами распределений вероятностей. Поэтому в качестве желанного побочного продукта теория также обеспечивает формальную основу для моделей, используемых в надежной статистике [14] и непараметрической статистике . [15] Включен также концепция , основанная на интеграции Шока , [16] и так называемые два монотонных и полностью монотонной мощностью , [17] , которые стали очень популярными в области искусственного интеллекта под названием (Демпстера- Шейфер) функции веры . [18] [19] Более того, существует сильная связь [20] с концепцией теоретико-игровой вероятности Шафером и Вовком . [21]
Математические модели
Термин «неточная вероятность» несколько вводит в заблуждение, поскольку точность часто ошибочно принимают за точность, тогда как неточное представление может быть более точным, чем ложно точное представление. В любом случае этот термин, похоже, утвердился в 1990-х годах и охватывает широкий спектр расширений теории вероятностей , в том числе:
- Кредальные наборы или наборы вероятностных распределений
- предвидения [2]
- Теория случайных множеств
- Теория доказательств Демпстера-Шафера
- нижняя и верхняя вероятности или интервальные вероятности [3] [9] [11]
- функции убеждений [18] [19]
- меры по возможности и необходимости [22] [23] [24]
- нижнее и верхнее видения [5] [6] [7] [25]
- сравнительные вероятностные порядки [11] [26] [27] [28]
- частичные предпочтения
- наборы желаемых азартных игр [5] [6] [7]
- p-боксы [29]
- надежные байесовские методы [30]
Интерпретация неточных вероятностей
Уолли предложил объединение многих из вышеупомянутых неточных теорий вероятностей [7], хотя это никоим образом не первая попытка формализовать неточные вероятности. С точки зрения вероятностных интерпретаций формулировка Уолли неточных вероятностей основана на субъективном варианте байесовской интерпретации вероятности. Уолли определяет верхнюю и нижнюю вероятности как частные случаи верхнего и нижнего предвидения и схемы азартных игр, предложенной Бруно де Финетти . Проще говоря, нижнее предвидение лица, принимающего решения, - это наивысшая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверено, что он или она купит азартную игру, а верхнее предвидение - это наименьшая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверен, что он или она купит противоположное. игры (что эквивалентно продаже исходной игры). Если верхнее и нижнее предвидения равны, то они вместе представляют справедливую цену игры для лица, принимающего решения, - цену, по которой лицо, принимающее решение, готово принять любую из сторон игры. Наличие справедливой цены ведет к точным вероятностям.
Допуск на неточность или разрыв между верхним и нижним предположениями лица, принимающего решения, является основным различием между точными и неточными теориями вероятности. Такие пробелы возникают естественным образом на рынках ставок, которые оказываются финансово неликвидными из-за асимметричной информации . Этот пробел также неоднократно приводится Генри Кибургом для его интервальных вероятностей, хотя он и Исаак Леви также приводят другие причины для интервалов или наборов распределений, представляющих состояния убеждений.
Проблемы с неточными вероятностями
Одна проблема с неточными вероятностями заключается в том, что часто существует независимая степень осторожности или смелости, присущая использованию одного интервала, а не более широкого или узкого. Это может быть степень уверенности, степень нечеткого членства или порог принятия. Это не такая большая проблема для интервалов, которые являются нижними и верхними границами, полученными из набора распределений вероятностей, например набора априорных значений, за которыми следует условность для каждого члена набора. Однако это может привести к вопросу, почему некоторые дистрибутивы включены в набор априорных значений, а некоторые нет.
Другая проблема заключается в том, почему можно быть точным относительно двух чисел, нижней и верхней границы, а не одного числа, то есть вероятности точки. Этот вопрос может быть чисто риторическим, поскольку надежность модели с интервалами по своей сути выше, чем у модели с точечными вероятностями. Это вызывает опасения по поводу несоответствующих заявлений о точности в конечных точках, а также в отношении значений точек.
Более практический вопрос заключается в том, какая теория принятия решений может использовать неточные вероятности. [31] Для нечетких мер есть работа Ягера. [32] Для выпуклых множеств распределений поучительны работы Леви. [33] Другой подход спрашивает, имеет ли значение пороговое значение, контролирующее смелость интервала, для принятия решения больше, чем просто взятие среднего значения или использование правила принятия решения Гурвица . [34] В литературе появляются и другие подходы. [35] [36] [37] [38]
Библиография
- ↑ Колмогоров, АН (1950). Основы теории вероятностей . Нью-Йорк: Издательская компания Челси.
- ^ а б де Финетти, Бруно (1974). Теория вероятностей . Нью-Йорк: Вили.
- ^ а б в Буль, Джордж (1854). Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей . Лондон: Уолтон и Маберли.
- ^ Смит, Седрик А.Б. (1961). «Последовательность статистических выводов и решений». Журнал Королевского статистического общества . В (23): 1–37.
- ^ а б в Уильямс, Питер М. (1975). Примечания к условным предвидениям . Школа математики. и Phys. Наук, Univ. Сассекса.
- ^ а б в Уильямс, Питер М. (2007). «Примечания к условным предвидениям». Международный журнал приблизительных рассуждений . 44 (3): 366–383. DOI : 10.1016 / j.ijar.2006.07.019 .
- ^ а б в г д Уолли, Питер (1991). Статистические рассуждения с неточными вероятностями . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-28660-5.
- ^ Деннеберг, Дитер (1994). Неаддитивная мера и интеграл . Дордрехт: Клувер.
- ^ а б в Вайхзельбергер, Курт (2000). «Теория интервальной вероятности как объединяющее понятие неопределенности». Международный журнал приблизительных рассуждений . 24 (2–3): 149–170. DOI : 10.1016 / S0888-613X (00) 00032-3 .
- ^ а б Вайхзельбергер, К. (2001). Elementare Grundbegriffe einer allgemeineren Wahrscheinlichkeitsrechnung I - Intervallwahrscheinlichkeit als umfassendes Konzept . Гейдельберг: Physica.
- ^ а б в Кейнс, Джон Мейнард (1921). Трактат о вероятности . Лондон: Macmillan And Co.
- ^ https://plato.stanford.edu/entries/imprecise-probabilities/supplement-historical.html
- ^ Кузнецов, Владимир П. (1991). Интервальные статистические модели . Москва: Радио и связь.
- ^ Руджери, Фабрицио (2000). Надежный байесовский анализ . Д. Риос Инсуа. Нью-Йорк: Спрингер.
- ^ Августин, Т .; Кулен, FPA (2004). «Непараметрический прогнозный вывод и интервальная вероятность» (PDF) . Журнал статистического планирования и вывода . 124 (2): 251–272. DOI : 10.1016 / j.jspi.2003.07.003 .
- ^ de Cooman, G .; Troffaes, MCM; Миранда, Э. (2008). «n-Монотонные точные функционалы». Журнал математического анализа и приложений . 347 (1): 143–156. arXiv : 0801.1962 . Bibcode : 2008JMAA..347..143D . DOI : 10.1016 / j.jmaa.2008.05.071 .
- ^ Huber, PJ; В. Штрассен (1973). «Минимаксные тесты и лемма Неймана-Пирсона для емкостей» . Летопись статистики . 1 (2): 251–263. DOI : 10.1214 / AOS / 1176342363 .
- ^ а б Демпстер, AP (1967). «Верхняя и нижняя вероятности, индуцированные многозначным отображением» . Летопись математической статистики . 38 (2): 325–339. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177698950 . JSTOR 2239146 .
- ^ а б Шафер, Гленн (1976). Математическая теория доказательств . Издательство Принстонского университета.
- ^ de Cooman, G .; Германс, Ф. (2008). «Неточные деревья вероятностей: мост между двумя теориями неточной вероятности». Искусственный интеллект . 172 (11): 1400–1427. arXiv : 0801.1196 . DOI : 10.1016 / j.artint.2008.03.001 .
- ^ Шафер, Гленн; Владимир Вовк (2001). Вероятность и финансы: это всего лишь игра! . Вайли.
- ^ Заде, Л.А. (1978). «Нечеткие множества как основа теории возможностей». Нечеткие множества и системы . 1 : 3–28. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (78) 90029-5 . hdl : 10338.dmlcz / 135193 .
- ^ Дюбуа, Дидье; Анри Прад (1985). Теория возможностей . Париж: Массон.
- ^ Дюбуа, Дидье; Анри Прад (1988). Теория возможностей - подход к компьютеризированной обработке неопределенности . Нью-Йорк: Пленум Пресс.
- ^ Troffaes, Matthias CM; де Куман, Герт (2014). Нижнее предвидение . Вайли. DOI : 10.1002 / 9781118762622 . ISBN 9780470723777.
- ^ де Финетти, Бруно (1931). "Sulignato soggettivo della probabilità" . Fundamenta Mathematicae . 17 : 298–329. DOI : 10,4064 / фм-17-1-298-329 .
- ^ Прекрасно, Терренс Л. (1973). Теории вероятностей . Нью-Йорк: Academic Press.
- ^ Fishburn, PC (1986). «Аксиомы субъективной вероятности» . Статистическая наука . 1 (3): 335–358. DOI : 10,1214 / сс / 1177013611 .
- ^ Ферсон, Скотт; Владик Крейнович ; Лев Гинзбург; Дэвид С. Майерс; Кари Сенц (2003). "Построение ящиков вероятностей и структур Демпстера-Шейфера" . SAND2002-4015 . Сандийские национальные лаборатории. Архивировано из оригинала на 2011-07-22 . Проверено 23 сентября 2009 .
- ^ Бергер, Джеймс О. (1984). «Надежная байесовская точка зрения». В Кадане, JB (ред.). Устойчивость байесовского анализа . Elsevier Science. стр. 63 -144.
- ^ Зайденфельд, Тедди. «Решения с неопределенными вероятностями». Поведенческие науки и науки о мозге 6, вып. 2 (1983): 259-261.
- ^ Ягер, RR, 1978. Fuzzy принятия решенийвключая неодинаковые цели. Нечеткие множества и системы, 1 (2), стр.87-95.
- ^ Леви, И., 1990. Трудный выбор: принятие решений в условиях неразрешенного конфликта. Издательство Кембриджского университета.
- ^ Луи, Р.П., 1986. Решения с неопределенными вероятностями. Теория и решение, 21 (3), стр.283-309.
- ^ Го, П. и Танака, Х., 2010. Принятие решений с интервальными вероятностями. Европейский журнал операционных исследований, 203 (2), стр. 444-454.
- ^ Caselton, WF и Л, W., 1992. Принятие решений с неточными вероятностями: теорией Демпстер Шафера и применением. Исследование водных ресурсов, 28 (12), стр 3071-3083.
- ^ Бриз, Дж. С. и Фертиг, К. В., 2013. Принятие решений с помощью интервальных диаграмм влияния. Препринт arXiv arXiv: 1304.1096.
- ^ Gärdenfors, П. и Салин, NE, 1982. недостоверные вероятности, рискованное, и принятие решений. Synthese, 53 (3), стр. 361-386.
Смотрите также
- Неприятие двусмысленности
- Твердое принятие решений
- Неточный процесс Дирихле
Внешние ссылки
- Общество неточной вероятности: теории и приложения
- Реализация классификатора с открытым исходным кодом на основе неточных вероятностей
- Неточная группа вероятностей в IDSIA
- Стэнфордская энциклопедия философии, статья о неточных вероятностях