Верхняя и нижняя вероятности

Верхняя и нижняя вероятности представляют неточную вероятность . В то время как теория вероятности использует одно число, вероятность , для описания вероятности того, что событие может произойти, в этом методе используются два числа: верхняя вероятность события и нижняя вероятность события.

Поскольку частотная статистика не допускает метавероятностей , частотникам ^{[ необходима цитата ]} пришлось предлагать новые решения. Седрик Смит и Артур Демпстер разработали теорию верхней и нижней вероятностей. Гленн Шафер развил теорию Демпстера, и теперь она известна как теория Демпстера – Шейфера или теория Шоке (1953). Точнее, в работе этих авторов одна рассматривает в наборе мощности , , масса функция , удовлетворяющая условиям${\ Displaystyle P (S) \, \!}$${\ displaystyle m: P (S) \ rightarrow R}$

${\ Displaystyle м (\ varnothing) = 0 \, \, \, \, \, \, \!; \, \, \, \, \, \, м (А) \ GEQ 0 \, \, \, \, \, \, \!; \, \, \, \, \, \, \ sum _ {A \ in P (X)} m (A) = 1. \, \!}$

В свою очередь, масса связана с двумя неаддитивными непрерывными мерами, называемыми убеждением и правдоподобием, определяемыми следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \varnothing }m(B)}$

В случае, когда бесконечно, может быть такое, что не существует ассоциированной функции масс. См. Стр. 36 из Halpern (2003). Вероятностные меры - это частный случай функций доверия, в которых функция масс приписывает положительную массу одиночным элементам пространства событий.${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {bel} }$

Другое представление о верхней и нижней вероятностях получается с помощью нижней и верхней огибающих, полученных из класса распределений вероятностей C путем задания

${\displaystyle \operatorname {env_{1}} (A)=\inf _{p\in C}p(A)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {env_{2}} (A)=\sup _{p\in C}p(A)}$

Верхняя и нижняя вероятности также связаны с вероятностной логикой : см. Герла (1994).

Также обратите внимание, что мера необходимости может рассматриваться как меньшая вероятность, а мера возможности - как верхняя вероятность.

См. Также [ править ]

• Теория возможностей
• Теория нечеткой меры
• Интервальный конечный элемент
• Анализ границ вероятности

Ссылки [ править ]

• Шоке, Г. (1953). «Теория емкостей» . Annales de l'Institut Fourier . 5 : 131–295. DOI : 10,5802 / aif.53 .
• Герла, Г. (1994). «Выводы в вероятностной логике». Искусственный интеллект . 70 (1–2): 33–52. DOI : 10.1016 / 0004-3702 (94) 90102-3 .
• Халперн, JY (2003). Рассуждения о неопределенности . MIT Press. ISBN 978-0-262-08320-1.
• Халперн, JY; Фэгин, Р. (1992). «Два взгляда на веру: вера как обобщенная вероятность и вера как свидетельство». Искусственный интеллект . 54 (3): 275–317. CiteSeerX  10.1.1.70.6130 . DOI : 10.1016 / 0004-3702 (92) 90048-3 .
• Хубер, П.Дж. (1980). Надежная статистика . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-41805-4.
• Саффиотти, А. (1992). «Логика функции убеждения». Материалы 10-й конференции AAAI . Сан-Хосе, Калифорния. С. 642–647. ISBN 978-0-262-51063-9.
• Шафер, Г. (1976). Математическая теория доказательств . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08175-5.
• Walley, P .; Хорошо, Т.Л. (1982). «К частотной теории верхней и нижней вероятности» . Анналы статистики . 10 (3): 741–761. DOI : 10.1214 / AOS / 1176345868 . JSTOR  2240901 .