Теория нечеткой меры

В математике , нечеткая теория меры рассматривает обобщаются меры , в которых свойство аддитивности заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечеткой меры является нечеткая мера (также емкость , см. ^[1] ), которая была введена Шоке в 1953 г. и независимо определена Сугено в 1974 г. в контексте нечетких интегралов . Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия / убежденности ; возможность / необходимость мер; и вероятностные меры, которые являются подмножеством классических меры.

Определения [ править ]

Пусть быть универсум дискурса , является класс из подмножеств в , и . Функция , где ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle g: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ emptyset \ в {\ mathcal {C}} \ Rightarrow г (\ emptyset) = 0}$
${\ Displaystyle E \ substeq F \ Rightarrow g (E) \ leq g (F)}$

называется нечеткой мерой . Нечеткая мера называется нормализованной или регулярной, если . ${\ Displaystyle г (\ mathbf {X}) = 1}$

Свойства нечетких мер [ править ]

Нечеткая мера:

добавка, если для любого такого, что у нас есть ; ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$ ${\ displaystyle g (E \ cup F) = g (E) + g (F).}$
супермодульный, если таковой имеется ; ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle г (E \ чашка F) + г (E \ cap F) \ geq g (E) + g (F)}$
субмодульный, еслиесть; ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ $g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)$
супераддитив, если для любого такого, что у нас есть ; $E,F\in {\mathcal {C}}$ $E\cap F=\emptyset$ $g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)$
субаддитив, если для любого такого, что у нас есть ; $E,F\in {\mathcal {C}}$ $E\cap F=\emptyset$ $g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)$
симметричный, если для любого , мы подразумеваем ; $E,F\in {\mathcal {C}}$ $|E|=|F|$ $g(E)=g(F)$
Логическое значение, если оно есть , у нас есть или . $E\in {\mathcal {C}}$ $g(E)=0$ $g(E)=1$

Понимание свойств нечетких мер полезно в приложениях. Когда нечеткая мера используется для определения функции, такой как интеграл Сугено или интеграл Шоке , эти свойства будут иметь решающее значение для понимания поведения функции. Например, интеграл Шоке по аддитивной нечеткой мере сводится к интегралу Лебега . В дискретных случаях симметричная нечеткая мера приведет к оператору упорядоченного взвешенного усреднения (OWA). Субмодульные нечеткие меры приводят к выпуклым функциям, в то время как супермодульные нечеткие меры приводят к вогнутым функциям при использовании для определения интеграла Шоке.

Представление Мебиуса [ править ]

Пусть г нечеткая мера, представление Мёбиуса г задается множество функций М , где для каждого , $E,F\subseteq X$

M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).

Эквивалентные аксиомы в представлении Мёбиуса:

$M(\emptyset )=0$ .
$\sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0$ , для всех и всех $E\subseteq \mathbf {X}$ $i\in E$

Нечеткая мера в представлении Мёбиуса M называется нормализованной, если $\sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.$

Представление Мёбиуса может использоваться, чтобы указать, какие подмножества X взаимодействуют друг с другом. Например, аддитивная нечеткая мера имеет значения Мебиуса, все равные нулю, за исключением одиночных чисел. Нечеткую меру g в стандартном представлении можно восстановить из формы Мёбиуса с помощью преобразования Дзета:

g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .

Предположения упрощения для нечетких мер [ править ]

Нечеткие меры определены на полукольце множеств или монотонном классе, который может быть таким же гранулярным, как набор степеней X , и даже в дискретных случаях количество переменных может достигать 2 ^{| X |} . По этой причине в контексте многокритериального анализа решений и других дисциплин были введены упрощающие предположения о нечеткой мере, чтобы ее определение и использование было менее затратным с вычислительной точки зрения. Например, когда предполагаются , нечеткая мера является аддитивной , он будет считать , что и значение нечеткой меры может быть оценено из значений на X . Аналогично $g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})$ симметричная нечеткая мера однозначно определяется равенством | X | значения. Две важные нечеткие меры, которые могут быть использованы, - это Сугено- или -нечеткая мера и k -аддитивные меры, введенные Сугено ^[2] и Грабишем ^[3] соответственно. $\lambda$

Sugeno λ -measure [ править ]

Мера Сугено - это частный случай нечетких мер, определяемых итеративно. Он имеет следующее определение: $\lambda$

Определение [ править ]

Позвольте быть конечным набором и пусть . Суджен -мер является функция таким образом, что $\mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace$ $\lambda \in (-1,+\infty )$ $\lambda$ $g:2^{X}\to [0,1]$

$g(X)=1$ .
если (альтернативно ) с помощью then . $A,B\subseteq \mathbf {X}$ $A,B\in 2^{\mathbf {X} }$ $A\cap B=\emptyset$ $g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)$

По соглашению, значение g для одноэлементного набора называется плотностью и обозначается . Кроме того, мы имеем то, что удовлетворяет свойству $\left\lbrace x_{i}\right\rbrace$ $g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )$ $\lambda$

\lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})

.

Тахани и Келлер ^[4], а также Ван и Клир показали, что как только плотности известны, можно использовать предыдущий многочлен для получения значений однозначно. $\lambda$

k -аддитивная нечеткая мера [ править ]

К -аддитивно нечеткая мера ограничивает взаимодействие между подмножествами до размера . Это резко сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, и, поскольку k может быть любым от 1 (в этом случае нечеткая мера является аддитивной) до X , это позволяет найти компромисс между возможностью моделирования и простотой. $E\subseteq X$ $|E|=k$

Определение [ править ]

Дискретная нечеткая мера g на множестве X называется k-аддитивной ( ), если ее представление Мёбиуса проверяет , всякий раз, когда для любого , и существует подмножество F с k элементами такое, что . $1\leq k\leq |\mathbf {X} |$ $M(E)=0$ $|E|>k$ $E\subseteq \mathbf {X}$ $M(F)\neq 0$

Индексы Шепли и взаимодействия [ править ]

В теории игр , то значение Шепли или индекс Шепли используется для обозначения веса игры. Значения Шепли могут быть рассчитаны для нечетких мер, чтобы дать некоторое представление о важности каждого сингла. В случае аддитивных нечетких мер значение Шепли будет таким же, как у каждого синглтона.

Для данной нечеткой меры g и индекс Шепли для каждого равен: $|\mathbf {X} |=n$ $i,\dots ,n\in X$

\phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].

Значение Шепли - это вектор $\mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).$

См. Также [ править ]

Теория вероятности
Теория возможностей

Ссылки [ править ]

^ Гюстав Шок (1953). «Теория емкостей». Annales de l'Institut Fourier . 5 : 131–295.
^ М. Сугено (1974). «Теория нечетких интегралов и ее приложения. Кандидатская диссертация». Токийский технологический институт, Токио, Япония .
^ М. Grabisch (1997). « Аддитивные дискретные нечеткие меры k -порядка и их представление». Нечеткие множества и системы . 92 (2): 167–189. DOI : 10.1016 / S0165-0114 (97) 00168-1 .
^ Х. Тахани и Дж. Келлер (1990). «Слияние информации в компьютерном зрении с использованием нечеткого интеграла». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике . 20 (3): 733–741. DOI : 10.1109 / 21.57289 .

Беляков, Прадера и Кальво, Функции агрегирования: Руководство для практиков , Спрингер, Нью-Йорк, 2007.
Ван, Чжэньюань и Джордж Дж. Клир , Fuzzy Measure Theory , Plenum Press, Нью-Йорк, 1991.

Внешние ссылки [ править ]

Теория нечетких мер при обработке нечетких изображений

[1] Гюстав Шок (1953). «Теория емкостей». Annales de l'Institut Fourier . 5 : 131–295.

[2] М. Сугено (1974). «Теория нечетких интегралов и ее приложения. Кандидатская диссертация». Токийский технологический институт, Токио, Япония .

[3] М. Grabisch (1997). « Аддитивные дискретные нечеткие меры k -порядка и их представление». Нечеткие множества и системы . 92 (2): 167–189. DOI : 10.1016 / S0165-0114 (97) 00168-1 .

[4] Х. Тахани и Дж. Келлер (1990). «Слияние информации в компьютерном зрении с использованием нечеткого интеграла». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике . 20 (3): 733–741. DOI : 10.1109 / 21.57289 .

[1]