В теории меры и вероятности , то теорема монотонный класс соединяет классы монотонных и сигма-алгебры . Теорема утверждает , что наименьший монотонный класс , содержащий алгебру множеств G точно наименьшая σ - алгебра , содержащая G . Он используется как тип трансфинитной индукции для доказательства многих других теорем, например теоремы Фубини .
Определение монотонного класса
Монотонный класс является семейство (т.е. класс)множеств, замкнутых относительно счетных монотонных объединений, а также счетных монотонных пересечений. В явном виде это означает обладает следующими свойствами:
- если а также тогда , а также
- если а также тогда .
Теорема о монотонном классе для множеств
Теорема монотонный класс для множеств - Пусть G быть алгебра множеств и определить M ( G ) , чтобы быть наименьшим монотонный класс , содержащий G . Тогда M ( G ) - это в точности σ- алгебра, порожденная G , т. Е. Σ ( G ) = M ( G ) .
Теорема о монотонном классе для функций
Теорема о монотонном классе для функций - Пусть- π -система , содержащая и разреши быть набором функций из к со следующими свойствами:
- Если тогда .
- Если а также тогда а также .
- Если - последовательность неотрицательных функций, возрастающих до ограниченной функции тогда .
потом содержит все ограниченные функции, измеримые относительно , которая является сигма-алгеброй, порожденной .
Доказательство
Следующий аргумент происходит из книги Рика Дарретта «Вероятность: теория и примеры». [1]
Предположение Из (2) и (3) следует, что является λ- системой. В силу (1) и П - λ теоремы ,. Из утверждения (2) следует, что содержит все простые функции, и тогда из (3) следует, что содержит все ограниченные функции, измеримые относительно .
Результаты и приложения
Как следствие, если G является кольцом множеств, то наименьший монотонный класс , содержащий это совпадает с сигма-кольцом G .
Применяя эту теорему, можно использовать монотонные классы, чтобы помочь проверить, что определенный набор подмножеств является сигма-алгеброй.
Теорема о монотонном классе функций может быть мощным инструментом, позволяющим обобщить утверждения об особенно простых классах функций на произвольные ограниченные и измеримые функции.
Смотрите также
- π-λ теорема
- π -система - непустое семейство множеств, в котором пересечение любых двух элементов снова является членом.
- Система Дынкина
Цитаты
- ^ Durrett, Рик (2010). Вероятность: теория и примеры (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 276 . ISBN 978-0521765398.
Рекомендации
- Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 года .