Кольцо наборов

В математике есть два разных понятия кольца множеств , оба относятся к определенным семействам множеств .

В теории порядка непустое семейство множеств называется кольцом (множеством), если оно замкнуто относительно объединения и пересечения . ^[1] То есть следующие два утверждения верны для всех множеств и , ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ подразумевает и ${\ displaystyle A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}}$
${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ подразумевает ${\ displaystyle A \ cap B \ in {\ mathcal {R}}.}$

В теории меры непустое семейство множеств называется кольцом (множеств), если оно замкнуто относительно объединения и относительного дополнения (теоретико-множественная разность). ^[2] То есть следующие два утверждения верны для всех множеств и , ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ подразумевает и ${\ displaystyle A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}}$
${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ подразумевает ${\ displaystyle A \ setminus B \ in {\ mathcal {R}}.}$

Отсюда следует, что кольцо в теоретико-мерном смысле всегда содержит пустое множество . Кроме того, для всех наборов $A$ и $B$ ,

{\ displaystyle A \ cap B = A \ setminus (A \ setminus B),}

что показывает, что семейство множеств, замкнутых относительно относительного дополнения, также замкнуто относительно пересечения, так что кольцо в теоретико-мерном смысле также является кольцом в теоретико-порядковом смысле.

Примеры [ править ]

Если $X$ является любое множество, то силовой агрегат из $X$ (семейство всех подмножеств $X$ ) образует кольцо множеств в любом смысле.

Если $(X, \leq)$ является частично упорядоченным множеством , то его верхние множества (подмножества $X$ с дополнительным свойством, что если $x$ принадлежит верхнему множеству U и $x \leq y$ , то $y$ также должен принадлежать $U$ ) замкнуты относительно как перекрестки, так и союзы. Однако в целом он не закроется под отличия наборов.

В открытые множества и замкнутые множества любого топологического пространства замкнуты относительно обоих объединений и пересечений. ^[1]

На реальной линии $ℝ$ , семейство множеств , состоящих из пустого множества и все конечные объединения полуинтервалов вида ( , Ь ], с $,$ $б$ $\in ℝ$ представляет собой кольцо в мере теоретико смысла.

Если $T$ - любое преобразование, определенное в пространстве, то множества, которые отображаются в себя с помощью $T$ , замкнуты как при объединениях, так и при пересечениях. ^[1]

Если два кольца множеств определены на одних и тех же элементах, то множества, принадлежащие обоим кольцам, сами образуют кольцо множеств. ^[1]

Связанные структуры [ править ]

Кольцо из множеств в порядке теоретико-смысле образует распределительную решетку , в которой пересечение и объединение операции соответствуют решеткам в встречаются и присоединиться к операции, соответственно. Наоборот, каждая дистрибутивная решетка изоморфна кольцу множеств; в случае конечных дистрибутивных решеток это теорема Биркгофа о представлении, и множества можно рассматривать как нижние множества частично упорядоченного множества. ^[1]

Семейство множеств, замкнутых относительно объединения и относительного дополнения, также замкнуто относительно симметричной разности и пересечения. И наоборот, каждое семейство множеств, замкнутых относительно симметричной разности и пересечения, также замкнуто относительно объединения и относительного дополнения. Это связано с идентичностями

${\ Displaystyle А \ чашка В = (А \, \ треугольник \, В) \, \ треугольник \, (А \ крышка В)}$ а также
${\ Displaystyle A \ setminus B = A \, \ треугольник \, (A \ cap B).}$

Симметричная разность и пересечение вместе образуют кольцо в теоретико-мерном смысле структуру булевого кольца .

В теоретико-мерном смысле σ-кольцо - это кольцо, замкнутое относительно счетных объединений, а δ-кольцо - это кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений. Явно σ-кольцо над $X$ - это такое множество , что для любой последовательности мы имеем . ${\mathcal {F}}$ $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}$ $\cup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}$

Дано множество $X$ , а поле множеств - также называется алгебра над $X$ - это кольцо , которое содержит $X$ . Из этого определения следует, что алгебра замкнута относительно абсолютного дополнения . Σ-алгебра есть алгебра , который также замкнуто относительно счетных объединений или , что эквивалентно сг-кольцо , которое содержит $X$ . Фактически, согласно законам де Моргана , δ-кольцо, содержащее $X$ , также обязательно является σ-алгеброй. Поля множеств, и особенно σ-алгебры, занимают центральное место в современной теории вероятностей и определении мер . $A^{c}=X\setminus A$

Полукольцо (наборы) представляет собой семейство множеств со свойствами ${\mathcal {S}}$

$\emptyset \in {\mathcal {S}},$
$A,B\in {\mathcal {S}}$ подразумевает и $A\cap B\in {\mathcal {S}},$
$A,B\in {\mathcal {S}}$ следует для некоторых непересекающихся $A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$ $C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.$

Ясно, что каждое кольцо (в смысле теории меры) является полукольцом.

Пол-поле подмножеств $X$ представляет собой пол-кольцо , которое содержит $X$ .

См. Также [ править ]

Алгебра множеств
δ-кольцо
Поле наборов
λ-система (система Дынкина)
π-система
σ-алгебра
σ-кольцо

Ссылки [ править ]

^ Б с д е Биркгоф, Гаррет (1937), "Кольцо множеств", Герцога математического журнал , 3 (3): 443-454, DOI : 10,1215 / S0012-7094-37-00334-X , МР 1546000 CS1 maint: discouraged parameter (link).
^ Де Барра, Гар (2003), Теория меры и интеграция , Издательство Хорвуд, стр. 13, ISBN 9781904275046.

Внешние ссылки [ править ]

Кольцо множеств в энциклопедии математики

[b37-1] Б с д е Биркгоф, Гаррет (1937), "Кольцо множеств", Герцога математического журнал , 3 (3): 443-454, DOI : 10,1215 / S0012-7094-37-00334-X , МР 1546000 CS1 maint: discouraged parameter (link).

[2] Де Барра, Гар (2003), Теория меры и интеграция , Издательство Хорвуд, стр. 13, ISBN 9781904275046.

[1]