Сигма-кольцо

В математике непустой набор множеств называется σ-кольцом (произносится как сигма-кольцо ), если он замкнут относительно счетного объединения и относительного дополнения .

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть непустым набором наборов . Тогда является σ-кольцом, если:${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

1. ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$если для всех${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$ если ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

Свойства [ править ]

Эти два свойства подразумевают:

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$если являются элементами${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Это потому что

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).}$

Каждое σ-кольцо является δ-кольцом, но существуют δ-кольца, которые не являются σ-кольцами.

Подобные концепции [ править ]

Если первое свойство ослаблено до замыкания при конечном объединении (т. Е. Всякий раз ), но не счетном объединении, то является кольцом, но не σ-кольцом.${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Использует [ редактировать ]

σ-кольца можно использовать вместо σ-полей (σ-алгебр) при развитии теории меры и интегрирования , если не требуется, чтобы универсальное множество было измеримым. Каждое σ-поле также является σ-кольцом, но σ-кольцо не обязательно должно быть σ-полем.

Σ-кольцо, которое является набором подмножеств, индуцирует σ-поле для . Определить . Тогда есть σ-поле над множеством - чтобы проверить замыкание при счетном объединении, напомним, что -кольцо замкнуто относительно счетных пересечений. Фактически это минимальное σ-поле, содержащее, поскольку оно должно содержаться в каждом σ-поле, содержащем .${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\cup B^{c}|A,B\in {\mathcal {R}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

См. Также [ править ]

• Алгебра множеств
• δ-кольцо
• Поле наборов
• λ-система (система Дынкина)
• π -система
• Кольцо наборов
• σ-алгебра

Ссылки [ править ]

• Вальтер Рудин , 1976. Принципы математического анализа , 3-е. изд. Макгроу-Хилл. В последней главе σ-кольца используются в развитии теории Лебега.