В математике - в частности, в функциональном анализе - слабо измеримая функция, принимающая значения в банаховом пространстве, - это функция , композиция которой с любым элементом двойственного пространства является измеримой функцией в обычном (сильном) смысле. Для сепарабельных пространств понятия слабой и сильной измеримости совпадают.
Определение
Если ( X , Σ) - измеримое пространство, а B - банахово пространство над полем K (обычно действительные числа R или комплексные числа C ), то f : X → B называется слабо измеримым, если для любого непрерывного линейного функционал g : B → K , функция
является измеримой функцией по отношению к Е и обычной борелевской сг - алгебре на К .
Измеримая функция в вероятностном пространстве обычно называется случайной величиной (или случайным вектором, если он принимает значения в векторном пространстве, таком как банахово пространство B ). Таким образом, как частный случай приведенного выше определения, если (Ω, Σ, P ) является вероятностным пространством, то функция Z :: Ω → B называется ( B -значной) слабой случайной величиной (или слабым случайным вектором ). если для любого линейного непрерывного функционала g : B → K функция
является К -значной случайным переменным (т.е. измеримым функциям) в обычном смысле, по отношению к Е и обычной борелевской сг - алгебре на К .
Характеристики
Отношения между измеримостью и слабой измеримостью даются следующим результатом, известный как Pettis теорема ' или теорема Петтиса измеримости .
Функция f называется почти наверняка сепарабельной (или существенно сепарабельной ), если существует подмножество N ⊆ X с μ ( N ) = 0 такое, что f ( X \ N ) ⊆ B сепарабельно.
Теорема (Петтис, 1938) . Функция f : X → B, определенная на пространстве с мерой ( X , Σ, μ ) и принимающая значения в банаховом пространстве B, является (сильно) измеримой (что равняется п.в. пределу последовательности измеримых счетнозначных функций), если и только в том случае, если он одновременно слабо измерим и почти наверняка оценен отдельно.
В случае, когда B сепарабельно, поскольку любое подмножество сепарабельного банахова пространства само сепарабельно, можно считать N выше пустым, и отсюда следует, что понятия слабой и сильной измеримости согласуются, когда B сепарабельно.
Смотрите также
Рекомендации
- Петтис, Б.Дж. (1938). «Об интегрировании в векторных пространствах» . Пер. Амер. Математика. Soc . 44 (2): 277–304. DOI : 10.2307 / 1989973 . ISSN 0002-9947 . Руководство по ремонту 1501970 .
- Шоуолтер, Ральф Э. (1997). «Теорема III.1.1». Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 103 . ISBN 0-8218-0500-2. Руководство по ремонту 1422252 .