Векторная мера

---

В математике векторная мера — это функция , определенная на семействе множеств и принимающая векторные значения, удовлетворяющие определенным свойствам. Это обобщение концепции конечной меры , которая принимает только неотрицательные действительные значения.

Для заданного поля множеств и банахова пространства конечно- аддитивная векторная мера (или для краткости мера ) — это функция такая, что для любых двух непересекающихся множеств и в одном имеет${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Векторная мера называется счетно-аддитивной , если для любой последовательности непересекающихся множеств , объединенных в нее, выполняется равенство${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

с рядом в правой части, сходящимся по норме банахова пространства${\displaystyle X.}$

Можно доказать, что аддитивная векторная мера счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда для любой указанной выше последовательности выполняется${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$

где норма на${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

---